Toán 9 Chứng minh đẳng thức

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
Với $n$ là số lẻ, chứng minh $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$

 

[Lê Tự Đông]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$
=> $(ab+bc+ca)(a+b+c)=abc$
=> $(a+b)(b+c)(c+a)=0$
TH1: a+b=0 => a=-b => $a^{n}=-b^{n}$ (n lẻ)
=> $a^{n}+b^{n}=0$ và $\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}=0$
=> $\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$
Tương tự vs 2 th còn lại ta được đpcm