Toán 9 Chứng minh đẳng thức.

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:
[tex]A = \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} [/tex]
[tex]B= \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} [/tex]
[TEX]C= \sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013}[/TEX]
và [TEX]A=B=C[/TEX].
Chứng minh $x=y=z$
@Mộc Nhãn

 

[kido2006]

Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:
[tex]A = \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} [/tex]
[tex]B= \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} [/tex]
[TEX]C= \sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013}[/TEX]
và [TEX]A=B=C[/TEX].
Chứng minh $x=y=z$
@Mộc Nhãn

Đặt $\sqrt{x+2011}=a;\sqrt{y+2011}=b;\sqrt{z+2011}=c$
Không mất tỏng quát ta giả sử $a \ge b \ge c$
Ta được hệ [tex]\left\{\begin{matrix} A=\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}\\ B=\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\\ C=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\\ A=B=C \end{matrix}\right.[/tex]
Từ $A=B$ ta được $\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}=\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{b+1}-\sqrt{b}+\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}=\sqrt{a+2} -\sqrt{a}$
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{a+2} -\sqrt{a}=\sqrt{b+1}-\sqrt{b}+\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}=\frac{1}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}\geq \frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}}[/tex]
$=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}=\sqrt{a+2} -\sqrt{a}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$ do đó $x=y=z$


Khi nhân liên hợp bạn nhớ xét trường hợp $=0$ nhé ^^
Nếu còn thắc mắc chỗ nào thì bảo mình nhé ^^