Toán 9 Chứng minh đẳng thức

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=1[/tex].
Chứng minh

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Xét ba số $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là các số thực dương và $ab+bc+ca=1$ tuy nhiên hai vế cần chứng minh lại không bằng nhau. Bạn xem lại đề nha

 

[Lena1315]

Xét 3 số [tex]a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}[/tex] thì đề vẫn đúng là anh

 

[nhatminh1472005]

Xét 3 số [tex]a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}[/tex] thì đề vẫn đúng là anh

Bạn thay ab+bc+ca=1 vào các biểu thức sau sẽ thấy điều kỳ diệu:
a^2+1=a^2+ab+bc+ca=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c).
b^2+1=(b+a)(b+c).
c^2+1=(c+a)(c+b).

 

[Lena1315]

Bạn thay ab+bc+ca=1 vào các biểu thức sau sẽ thấy điều kỳ diệu:
a^2+1=a^2+ab+bc+ca=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c).
b^2+1=(b+a)(b+c).
c^2+1=(c+a)(c+b).

mh cx phân tích đc mẫu r mà chưa bt làm tiếp như nào

 

[7 1 2 5]

Ta có:[tex]\frac{1-a^2}{a^2+1}+\frac{1-b^2}{1+b^2}=\frac{1-a^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{1-b^2}{(a+b)(b+c)}=\frac{(1-a^2)(b+c)+(1-b^2)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{b+c-a^2b-a^2c+c+a-b^2a-b^2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a+b+2c-c(a^2+b^2)-ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
Lại có:[tex]\frac{2c(1+ab)}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}=\frac{2c(1+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
Cần chứng minh:[tex]a+b+2c-c(a^2+b^2)-ab(a+b)=2c(1+ab)\Leftrightarrow a+b-c(a^2+b^2)-ab(a+b)=2abc\Leftrightarrow a+b-c(a^2+b^2)-2abc-ab(a+b)=0\Leftrightarrow (a+b)(1-ab)-c(a^2+b^2+2ab)=0\Leftrightarrow (a+b)(bc+ca)-c(a+b)^2=0\Leftrightarrow (a+b)^2c-c(a+b)^2=0(luôn đúng)[/tex]
Vậy ta có đpcm.