Toán 8 Chứng minh đẳng thức

[Tríp Bô Hắc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/. Cho 3 số a,b,c thỏa: a+b+c=0 và ab+ac+bc=0
Tính g.trị biểu thức: M= [tex](a-1)^{1990}+(b-1)^{1991}+(c+1991)^{1992}[/tex]
2/. Cho [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex]. CMR:
a) (a+b)(b+c)(c+a)=0
b) [tex]\frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{(a+b+c)^{5}}[/tex]
c) [tex]\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}} =\frac{1}{(a+b+c)^{2n+1}} (n\epsilon N)[/tex]
Giúp với, cần cực gấp!!

 

[Ann Lee]

1/. Cho 3 số a,b,c thỏa: a+b+c=0 và ab+ac+bc=0
Tính g.trị biểu thức: M= [tex](a-1)^{1990}+(b-1)^{1991}+(c+1991)^{1992}[/tex]

[tex]a+b+c=0\Rightarrow 0=(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
Vì [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 0[/tex] với mọi $a;b;c$ nên [TEX]a=b=c=0[/TEX]
Thay vào M và tính...

2/. Cho [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex]. CMR:
a) (a+b)(b+c)(c+a)=0
b) [tex]\frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{(a+b+c)^{5}}[/tex]
c) [tex]\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}} =\frac{1}{(a+b+c)^{2n+1}} (n\epsilon N)[/tex]

a) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+abc+bc^{2}+c^{2}a-abc=0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+c^{2}(a+b)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^{2})=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$ (đpcm)

b) Theo câu a thì [TEX](a+b)(b+c)(c+a)=0[/TEX]
TH1: [TEX]a+b=0\Leftrightarrow a=-b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}}+\frac{1}{-a^{5}}+\frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
Và: [TEX]\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{a^{5}+(-a)^{5}+c^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
Và [TEX]\frac{1}{(a+b+c)^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{(a+b+c)^{5}}(dpcm)[/tex]
Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

c) Với [tex]n\in \mathbb{N}\Rightarrow 2n+1[/tex] là số lẻ
Làm tương tự câu b là được.
Câu c chính là tổng quát

 

[Tríp Bô Hắc]

[tex]a+b+c=0\Rightarrow 0=(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
Vì [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 0[/tex] với mọi $a;b;c$ nên [TEX]a=b=c=0[/TEX]
Thay vào M và tính...


a) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+abc+bc^{2}+c^{2}a-abc=0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+c^{2}(a+b)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^{2})=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$ (đpcm)

b) Theo câu a thì [TEX](a+b)(b+c)(c+a)=0[/TEX]
TH1: [TEX]a+b=0\Leftrightarrow a=-b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}}+\frac{1}{-a^{5}}+\frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
Và: [TEX]\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{a^{5}+(-a)^{5}+c^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
Và [TEX]\frac{1}{(a+b+c)^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{(a+b+c)^{5}}(dpcm)[/tex]
Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

c) Với [tex]n\in \mathbb{N}\Rightarrow 2n+1[/tex] là số lẻ
Làm tương tự câu b là được.
Câu c chính là tổng quát

Ở câu 1, tại sao [tex]a^{2}+b^{2}+ c^{2}\geq 0 => a=b=c=0[/tex] vậy?
Ở câu 2a,tại sao từ dòng (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc
lại suy ra (ab+bc+ca)(a+b)+abc+[tex]bc^{2}+c^{2}a-abc[/tex] vậy?

 

[Ann Lee]

Ở câu 1, tại sao [tex]a^{2}+b^{2}+ c^{2}\geq 0 => a=b=c=0[/tex] vậy?
Ở câu 2a,tại sao từ dòng (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc
lại suy ra (ab+bc+ca)(a+b)+abc+[tex]bc^{2}+c^{2}a-abc[/tex] vậy?

Ở câu 1) Từ giả thiết ta có: [TEX]a^{2}+b^{2}+ c^{2}= 0[/TEX]
Mà vì [TEX]a^{2}+b^{2}+ c^{2}\geq 0 [/TEX] với mọi a;b;c nên suy ra [TEX]a=b=c=0[/TEX]

Ở câu 2)
Cái này chỉ là biến đổi tương đương, bạn thử nhìn thật kĩ lại và đặt bút nháp lại trước khi thắc mắc đi.

 

[Tríp Bô Hắc]

Ở câu 1) Từ giả thiết ta có: [TEX]a^{2}+b^{2}+ c^{2}= 0[/TEX]
Mà vì [TEX]a^{2}+b^{2}+ c^{2}\geq 0 [/TEX] với mọi a;b;c nên suy ra [TEX]a=b=c=0[/TEX]

Ở câu 2)
Cái này chỉ là biến đổi tương đương, bạn thử nhìn thật kĩ lại và đặt bút nháp lại trước khi thắc mắc đi.

Câu 2 mk vẫn chưa hiều, bạn có thể nào làm rõ ràng ra chút đc ko

 

[Ann Lee]

Câu 2 mk vẫn chưa hiều, bạn có thể nào làm rõ ràng ra chút đc ko

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+(ab+bc+ca)c-abc=0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+abc+bc^{2}+c^{2}a-abc=0$

 

[Tríp Bô Hắc]

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+(ab+bc+ca)c-abc=0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+abc+bc^{2}+c^{2}a-abc=0$

À, mk hiểu ồi .Cảm ơn nhiều ạ

 

[Tríp Bô Hắc]

[tex]a+b+c=0\Rightarrow 0=(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
Vì [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 0[/tex] với mọi $a;b;c$ nên [TEX]a=b=c=0[/TEX]
Thay vào M và tính...


a) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+abc+bc^{2}+c^{2}a-abc=0$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b)+c^{2}(a+b)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^{2})=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$ (đpcm)

b) Theo câu a thì [TEX](a+b)(b+c)(c+a)=0[/TEX]
TH1: [TEX]a+b=0\Leftrightarrow a=-b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}}+\frac{1}{-a^{5}}+\frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
Và: [TEX]\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{a^{5}+(-a)^{5}+c^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
Và [TEX]\frac{1}{(a+b+c)^{5}}=\frac{1}{c^{5}}[/TEX]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a^{5}}+ \frac{1}{b^{5}}+ \frac{1}{c^{5}}=\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{5}} =\frac{1}{(a+b+c)^{5}}(dpcm)[/tex]
Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

c) Với [tex]n\in \mathbb{N}\Rightarrow 2n+1[/tex] là số lẻ
Làm tương tự câu b là được.
Câu c chính là tổng quát

Cho mk hỏi, chứng minh đc ở câu a là (a+b)(b+c)(c+a)=0 nên chỉ cần làm 1 truờng hợp là lấy b=-a thay vào biểu thức b và c thôi đúng hơm?

 

[Ann Lee]

Cho mk hỏi, chứng minh đc ở câu a là (a+b)(b+c)(c+a)=0 nên chỉ cần làm 1 truờng hợp là lấy b=-a thay vào biểu thức b và c thôi đúng hơm?

Bạn làm TH1 là b=-a còn các TH2 và TH3 thì ghi chứng minh tương tự TH1 ta được đpcm.

 

[hdiemht]

Cho mk hỏi, chứng minh đc ở câu a là (a+b)(b+c)(c+a)=0 nên chỉ cần làm 1 truờng hợp là lấy b=-a thay vào biểu thức b và c thôi đúng hơm?

Nếu bạn muốn thay 1 TH thì bạn phải nói là:
Vì vai trò của a,b,C như nhau nên...