Toán 9 Chứng minh đẳng thức

[Akira Rin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ cho 3 số thực a,b,c t/m [tex]\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0[/tex]
c/m [tex]\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0[/tex]
2/ giả sử a,b,c là 3 số thực t/m [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex]
c/m [tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}[/tex] với mọi n thuộc N
3/ cho a,b,c>0 và [tex]a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2[/tex]
c/m [tex]\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Bài 1:
Ta có: $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b}{c-a}+\frac{-c}{a-b}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^{2}-ba+ca-c^{2}}{(a-c)(b-a)}$
$\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^{2}}=\frac{b^{2}-ba+ca-c^{2}}{(a-c)(b-a)(b-c)}$
Tương tự:....
Cộng vế với vế của 3 đẳng thức trên được:
[tex]\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^{2} - ab + ac - c^{2} + c^{2} + ab - bc - a^{2} + a^{2} - ac + bc - b^{2}}{(a - b)(b - c)(c - a)}=0[/tex] (đpcm)

Bài 2:
Xem lại đề, phải có điều kiện nào đó cho n chứ.

Bài 3:
Ta có: [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}=4\Leftrightarrow a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=4\Leftrightarrow 2+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=4\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1[/tex]
Xét $\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$=\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c)}$
$=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$

Xét $\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}$
$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a}+\frac{\sqrt{b}}{{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c}$
$=\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{b}}{({\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a}})}+\frac{\sqrt{c}}{(\sqrt{c}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{b}(\sqrt{c}+\sqrt{a})+\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
$=\frac{2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$ (đpcm)

 

[Akira Rin]

Bài 1:
Ta có: $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b}{c-a}+\frac{-c}{a-b}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^{2}-ba+ca-c^{2}}{(a-c)(b-a)}$
$\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^{2}}=\frac{b^{2}-ba+ca-c^{2}}{(a-c)(b-a)(b-c)}$
Tương tự:....
Cộng vế với vế của 3 đẳng thức trên được:
[tex]\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^{2} - ab + ac - c^{2} + c^{2} + ab - bc - a^{2} + a^{2} - ac + bc - b^{2}}{(a - b)(b - c)(c - a)}=0[/tex] (đpcm)

Bài 2:
Xem lại đề, phải có điều kiện nào đó cho n chứ.

Bài 3:
Ta có: [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}=4\Leftrightarrow a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=4\Leftrightarrow 2+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=4\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1[/tex]
Xét $\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$=\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c)}$
$=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})$

Xét $\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}$
$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a}+\frac{\sqrt{b}}{{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c}$
$=\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}+\frac{\sqrt{b}}{({\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a}})}+\frac{\sqrt{c}}{(\sqrt{c}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{b}(\sqrt{c}+\sqrt{a})+\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
$=\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}=\frac{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=\frac{2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}$
$=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$ (đpcm)

n thuộc N bạn ơi

 

[Ann Lee]

n thuộc N bạn ơi

n thuộc N thì đề vẫn sai bạn ơi
Mình cho bạn một ví dụ nhé:
Có [tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{-2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2-2+3}[/tex] (thỏa mãn giả thiết mà đề đã cho)
Nhưng [tex]\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{(-2)^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\neq \frac{1}{2^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}[/tex] ( không thỏa mãn đpcm ở đề bài)
Phiền bạn xem kĩ lại đề làn nữa.

 

[Akira Rin]

n thuộc N thì đề vẫn sai bạn ơi
Mình cho bạn một ví dụ nhé:
Có [tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{-2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2-2+3}[/tex] (thỏa mãn giả thiết mà đề đã cho)
Nhưng [tex]\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{(-2)^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\neq \frac{1}{2^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}[/tex] ( không thỏa mãn đpcm ở đề bài)
Phiền bạn xem kĩ lại đề làn nữa.

vậy thôi, bỏ qua bài đó đi. bạn giúp mình bài này nha
cho a,b,c đôi một khác nhau, và [tex](b-c)\sqrt{1-a^3}+(c-a)\sqrt{1-b^3}+(a-b)\sqrt{1-c^3}=0[/tex]
c/m [tex](1-a^3)(1-b^3)(1-c^3)=(1-abc)^3[/tex]

 

[Ann Lee]

vậy thôi, bỏ qua bài đó đi. bạn giúp mình bài này nha
cho a,b,c đôi một khác nhau, và [tex](b-c)\sqrt{1-a^3}+(c-a)\sqrt{1-b^3}+(a-b)\sqrt{1-c^3}=0[/tex]
c/m [tex](1-a^3)(1-b^3)(1-c^3)=(1-abc)^3[/tex]

Đề bài sai.
Sửa lại:
Cho a,b,c đôi một khác nhau, và [tex](b-c)\sqrt[3]{1-a^3}+(c-a)\sqrt[3]{1-b^3}+(a-b)\sqrt[3]{1-c^3}=0[/tex]
c/m $(1-abc)^{3}=(1-a^{3})(1-b^{3})(1-c^{3})$
_____________________
Đặt [tex](b-c)\sqrt[3]{1-a^3}=x;(c-a)\sqrt[3]{1-b^3}=y;(a-b)\sqrt[3]{1-c^3}=z[/tex]
Ta có $a+b+c=0$ [tex]\Leftrightarrow c=-a-b[/tex]
Xét [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+(-a-b)^{3}=(a+b)^{3}+3ab(-a-b)-(a+b)^{3}=3abc[/tex]
Hay $(b-c)^{3}(1-a^{3})+(c-a)^{3}(1-b^{3})+(a-b)^{3}(1-c^{3})$
$=3(b-c)\sqrt[3]{1-a^{3}}(c-a)\sqrt[3]{1-b^{3}}(a-b)\sqrt[3]{1-c^{3}}$
$\Leftrightarrow ...$ (chỗ này biến đổi lằng nhằng, mình ngại gõ, bạn có thể tự biến đổi được)
$\Leftrightarrow 3(1-abc)(a-b)(b-c)(c-a)=3(a-b)(b-c)(c-a)\sqrt[3]{1-a^{3}}\sqrt[3]{1-b^{3}}\sqrt[3]{1-c^{3}}$
$\Leftrightarrow 3(a-b)(b-c)(c-a)[(1-abc)-\sqrt[3]{1-a^{3}}\sqrt[3]{1-b^{3}}\sqrt[3]{1-c^{3}}]=0$ (*)
Vì a,b,c đôi một khác nhau nên [tex]a-b\neq 0;b-c\neq 0;c-a\neq 0[/tex].
Từ (*) suy ra $(1-abc)-\sqrt[3]{1-a^{3}}\sqrt[3]{1-b^{3}}\sqrt[3]{1-c^{3}}=0$
$\Leftrightarrow (1-abc)=\sqrt[3]{1-a^{3}}\sqrt[3]{1-b^{3}}\sqrt[3]{1-c^{3}}$
$\Leftrightarrow (1-abc)^{3}=(1-a^{3})(1-b^{3})(1-c^{3})$ (đpcm)