cho a,b là các số dương chứng minh rằng
[tex]\frac{2a^{2}+3b^{2}}{2a^{3}+3b^{3}} +\frac{2b^{2}+3a^{2}}{2b^{3}+3a^{3}} \leq \frac{4}{a+b}[/tex]
[tex]\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\leq \frac{4}{a+b}[/tex] (*)
[tex]\Rightarrow \frac{4}{a+b}-\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}-\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\geq 0{\color{Red} (1)}[/tex]
Khai triển ra và rút gọn ta được:
[tex]\Leftrightarrow 26a^3b^3+12a^6+12b^6-13a^2b^4-13a^4b^2-12ab^5-12a^5b\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (13a^3b^3-13a^2b^4)+(13a^3b^3-13a^4b^2)+(12b^6-12a^5b)+(12a^6-12ab^5)\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12(a^5-b^5)(a-b)-13a^2b^2(a-b)^2\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 12(a-b)^2(a^4+a^3b+a2b^2+ab^3+b^4)-13a^2b^2(a-b)^2\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a-b)^2(12a^4+12a^3b+12ab^3+12b^4-a^2b^2)\geq 0[/tex]
Ta có: [tex](a-b)^2\geq 0[/tex] với mọi a,b
Và: [tex]12a^4+12a^3b+12ab^3+12b^4-a^2b^2=12a^4+12b^4+12ab(a^2+b^2-ab)+11a^2b^2> 0[/tex]
Vậy (*) được chứng minh..Dấu''='' xảy ra khi a=b
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
