Toán Chứng minh đẳng thức

[linhtrangnguyen08]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a,b,c>0[/tex]:
[tex]a+b+c+ab+bc+ca=6abc[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3[/tex]

 

[Ngọc's]

[tex]a+b+c+ab+bc+ac=6abc[/tex] (1)
Vì [tex]a>0, b>0,c>0[/tex]
[tex]=>\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6[/tex] (cùng chia cả 2 vế cho abc) (2)
Đặt [tex]\frac{1}{a}=x; \frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z[/tex]
Thay vào (2) ta có:
x+y+z+xy+yz+xz=6
Vậy ta cần chứng minh: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3[/tex]

Lại có:
[tex]x^{2}+1\geq 2x[/tex] (BĐT Cô-si) (3)
Tương tự,
[tex]y^{2}+1\geq 2y[/tex] (4)
[tex]z^{2}+1\geq 2z[/tex] (5)
Cộng 3 BĐT (3), (4), (5) vào ta có:
[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\geq2(x+y+z)(*)[/tex]
Mặt khác, ta có:

[tex]x^{2}+y^{2}\geq 2xy[/tex] (Cô-si)
[tex]y^{2}+z^{2}\geq 2yz[/tex]
[tex]x^{2}+z^{2}\geq 2xz[/tex]
Cộng 3 BĐT trên ta có:
[tex]2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+xz)[/tex] (**)

Cộng (*) và (**) với nhau, ta có
[tex]3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)[/tex]
[tex]=>3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2.6-3[/tex]

[tex]=>x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3(dpcm)[/tex]