chứng minh đẳng thức

[chaublu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho $\bigtriangleup ABC$ .Chứng minh $S_{ABC}$\leq$\frac{(AB+AC)^2}{8}$.Đẳng thức xảy ra khi nào?
2)Cho tứ giác ABCD,có AB = a,CD = c, AD = BC,$\widehat{D} + \widehat{C} = 90^o$
Chứng minh:$S_{MNPQ}$\geq$\frac{(a-c)^2}{8}$. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Biết M,N,P,Q là trung điểm 4 cạnh AB,BC,CD,DA

 

[0973573959thuy]

Bài 1 :

Từ C hạ đường cao CH vuông góc AB.

Khi đó :

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}. CH.AB$

$S_{ABC} \le \dfrac{(AB + AC)^2}{8} \leftrightarrow \dfrac{CH.AB}{2} \le \dfrac{(AB + AC)^2}{8} \leftrightarrow 2(AB + AC)^2 \ge 8.CH.AB$

Ta có : $(a + b)^2 \ge 4ab$ \forall a, b

Thật vậy : $(a + b)^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \ge 0$ \forall a, b.

Áp dụng bđt trên ta có :

$2(AB + AC)^2 \ge 2.4.AB.AC = 8.AB.AC$

$S_{ABC} \le \dfrac{(AB + AC)^2}{8} \leftrightarrow 8.AB.AC \ge 8.CH.AB \leftrightarrow AC \ge CH$ (Luôn đúng theo tính chất đường xiên và đường vuông góc)

$\rightarrow dpcm$

Good Luck! @};-