Chứng minh đẳng thức

[vuonghongtham07]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}- \sqrt{z}}[/TEX]
Chứng minh: [TEX]\frac{1}{\sqrt[2013]{x}}-\frac{1}{\sqrt[2013]{y}}- \frac{1}{\sqrt[2013]{z}} = \frac{1}{\sqrt[2013]{x}- \sqrt[2013]{y}-\sqrt[2013]{z}}[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

Đặt $\sqrt{x}$=a ; $\sqrt{y}$=b ; $\sqrt{z}$=c \Rightarrow a,b,c>0
Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x}}$+$\frac{1}{\sqrt{y}}$+$\frac{1}{\sqrt{z}}$=$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}}$
\Leftrightarrow$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{a-b-c}$
\Leftrightarrow($\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$)-($\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a-b-c}$)=0
\Leftrightarrow$\frac{b-a}{ab}$+$\frac{b-a}{c(a-b-c)}$=0
\Leftrightarrow(b-a)($\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{ac-bc-c^2}$)=0
\Leftrightarrow(b-a)($\frac{ac-bc-c^2+ab}{ab(ac-bc-c^2)}$)=0
\Leftrightarrow(b-a)(a-c)(b+c)($\frac{1}{ab(ac-bc-c^2)}$)=0 (1)
Vì b,c>0\Rightarrowb+c>0 \Rightarrow(1)\Leftrightarrowb-a=0 hoặc a-c=0\Leftrightarrowa=b hoặc a=c
*Nếu a=b\Rightarrowx=y\Rightarrow$\frac{1}{2013\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2013\sqrt{y}}$+$\frac{1}{2013\sqrt{z}}$=-$\frac{1}{2013\sqrt{z}}$
$\frac{1}{2013\sqrt{x}-2013\sqrt{y}-2013\sqrt{z}}$=-$\frac{1}{2013\sqrt{z}}$
\Rightarrow$\frac{1}{2013\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2013\sqrt{y}}$-$\frac{1}{2013\sqrt{z}}$=$\frac{1}{2013\sqrt{x}-2013\sqrt{y}-2013\sqrt{z}}$
*Nếu a=c tương tự như trên ta có đpcm