Chứng minh đẳng thức

[saobangkhoc141999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho 0 \leq a;b;c \leq 2 ; a + b + c = 3.
C/m: a, [tex] 3 \leq a^2 + b^2 + c^2 \leq 5[/tex]
b, [tex] 3\leq a^3 + b^3 + c^3 - 3(a - 1)(b - 1)(c - 1) \leq 9 [/tex]
2, Cho x,y \geq 0; x + y = 6. C/m: [tex] -64 \leq x^2y(4 - x - y) \leq 4 [/tex]

 

[braga]

Bài 1:
Đặt [TEX]a=x+1 , b=y+1,c=z+1 \ thi \ x,y,z\in [-1;1] \ va \ x+y+z=0[/TEX]
a, Ta có:
[TEX]a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+3\geq 3 [/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]x=y=z=0 \Rightarrow a=b=c=1[/TEX]
Mặt khác , do [TEX]x,y,z\in [-1;1][/TEX] nên
[TEX](1-x)(1-y)(1-z)+(1+x)(1+y)(1+z) \geq 0 \\ \Leftrightarrow 2+2(xy+yz+zx)\geq 0 \\ \Leftrightarrow 2-(x^2+y^2+z^2)+(x+y+z)^2\geq 0 \\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5[/TEX]
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn [TEX]a=2.b=1,c=0[/TEX]
b, Ta có:
[TEX]a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1) \\ = (x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3-3xyz \\ = x^3+y^3+z^3-3xyz+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+3[/TEX]
Mà [TEX]x+y+z=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+3=3(x^2+y^2+z^2)+3[/TEX]
Theo câu a thì [TEX]0\leq x^2+y^2+z^2\leq 2[/TEX] nên ta có dpcm