Toán 11 Chứng minh đẳng thức tổ hợp

[Hally Nguyệt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng:

$\left ( C_{n}^{1} \right )^{2} + 2 * \left ( C_{n}^{2} \right )^{2} + ... + n * \left ( C_{n}^{n} \right )^{2} = \frac{n}{2} * C_{2n}^{n}$

 

[Ngoc Anhs]

Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng:

$\left ( C_{n}^{1} \right )^{2} + 2 * \left ( C_{n}^{2} \right )^{2} + ... + n * \left ( C_{n}^{n} \right )^{2} = \frac{n}{2} * C_{2n}^{n}$

Xét [tex]f(x)=(1+x)^n=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^2C_{n}^{2}+...+x^nC_{n}^{n}[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x)=n(1+x)^{n-1}=C_{n}^{1}+2xC_{n}^{2}+3x^2C_{n}^{3}+...+nx^{n-1}C_{n}^{n}[/tex]
[tex]\Rightarrow xf'(x)=nx(1+x)^{n-1}=xC_{n}^{1}+2x^2C_{n}^{2}+...+nx^nC_{n}^{n} \ (1)[/tex]
[tex](x+1)^n=C_{n}^{n}x^n+C_{n}^{1}x^{n-1}+C_{n}^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n} \ (2)[/tex]
Nhân theo vế của $(1)$ với $(2)$ sau đó so sánh hệ số của $x^n$ ở 2 vế là xong!