chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

[huyenlilu234]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Trong tam giác ABC có: S = (c - a + b).(c - b + a)
CMR: tanC = 5/18

Câu 2: Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = (r + 4R)/p

 

[lp_qt]

Câu 1

$S =(c-a+b).(c-b+a)=c^2-(a-b)^2=c^2-a^2-b^2+2ab$

$\Longleftrightarrow 2.\dfrac{S}{ab}=2.\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{ab}$

$\Longleftrightarrow sinC=-4cosC+4$

mà $sin^2C+cos^2C=1$

$\Longleftrightarrow (-4cosC+4)^2+cos^2C=1$

$\Longleftrightarrow 17.cos^2C-32.cosC+15=0$

$\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}cosC=1 \rightarrow C=0^{\circ} & \\ cosC=\dfrac{15}{17} & \end{bmatrix}$

$\rightarrow sinC=\dfrac{8}{17}$

\Rightarrow $tanC=\dfrac{8}{15}$

 

[dien0709]

Câu 2: Trong tam giác ABC chứng minh rằng:
tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = (r + 4R)/p (1)

Gọi I là tâm đg tròn nội tiếp,D,E,F là các tiếp điểm trên AB,BC và AC.

Ta dễ dàng ch.minh được $AD=AF=\dfrac{b+c-a}{2}=p-a=>tan\dfrac{A}{2}=\dfrac{r}{p-a}$

$(1)<=>\dfrac{r}{p-a}+\dfrac{r}{p-b}+\dfrac{r}{p-c}=\dfrac{r+4R}{p}$

$<=>\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{4R}{pr}=\dfrac{abc}{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$<=>p(p-b)(p-c)+p(p-a)(p-c)+p(p-a)(p-b)-(p-a)(p-b)(p-c)=abc$

$<=>p(p-c)c+(p-a)(p-b)c=abc<=>(a+b+c)(a+b-c)+(c+b-a)(c+a-b)=4ab$

$<=>(a+b)^2-c^2+c^2-(a+b)^2=4ab$ .Đúng =>đpcm