Toán Chứng minh đẳng thức có điều kiện

[linhtrangnguyen08]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Biết x+y+z=0, chứng minh rằng:
[tex]2(x^{5}+y^{5}+z^{5})=5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Biết x+y+z=0, chứng minh rằng:

$x+y+z=0\Leftrightarrow x+y=-z$
$\Leftrightarrow (x+y)^5=(-z)^5$
$\Leftrightarrow x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5=-z^5$
$\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5+5xy(x^3+y^3+2x^2y+2xy^2)=0$
$\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5+5xy[(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy(x+y)]=0$
$\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5+5xy(x+y)(x^2-xy+y^2+2xy)=0$
$\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5-5xyz(x^2+xy+y^2)=0$
$\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5=5xyz(x^2+xy+y^2)$
$\Leftrightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(2x^2+2xy+2y^2)$
$\Leftrightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz[x^2+y^2+(x+y)^2]$
$\Leftrightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$ (đpcm)