Toán 8 Chứng minh đa thức

[_haphuong36_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho f(x) là một đa thức với hệ số nguyên và a, b là hai số nguyên khác 0, nguyên tố cùng nhau. CMR: Nếu [tex]f(a)\vdots b[/tex] và [tex]f(b)\vdots a[/tex] thì [tex]f(a+b)\vdots ab[/tex].

 

[7 1 2 5]

Gọi đa thức đó là [tex]f(x)=p_1x^n+p_2x^{n-1}+...+p_nx+p_{n+1}[/tex]
Nhận xét: [tex](a+b)^n\equiv a^n+b^n(modab)\Rightarrow f(a+b)=p_1(a+b)^n+p_2(a+b)^{n-1}+...+p_n(a+b)+p_{n+1}\equiv p_1(a^n+b^n)+p_2(a^{n-1}+b^{n-1})+...+p_n(a+b)+p_{n+1}=f(a)+f(b)-p_{n+1}(modab)[/tex]
Ta thấy: [tex]f(a)-p_{n+1}=p_1a^n+p_2a^{n-1}+...+p_na\vdots a\Rightarrow f(a)+f(b)-p_{n+1}\vdots a[/tex] [tex]\Rightarrow f(a+b)\vdots a[/tex]
Tương tự thì ta cũng chứng minh được [tex]f(a+b)\vdots b[/tex]
Vì [tex](a,b)=1\Rightarrow f(a+b)\vdots ab[/tex]