Toán 8 Chứng minh đa thức

[JungYue]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh : [TEX]n^4 + 4^n[/TEX] là hợp số.

 

[zzh0td0gzz]

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh : [TEX]n^4 + 4^n[/TEX] là hợp số.

*) $n$ chẵn => tổng chia hết cho 2
*) $n$ lẻ
$n^4 + 4^n = (n^2)^2 + (2^n)^2 + 2.n^2.2^n - 2.n^2.2^n = (n^2+2^n)^2 - n^2.2^{n+1} = (n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}})(n^2+2^n +n.2^{\frac{n+1}{2}}) $
Cần chứng minh $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} > 1 $
Tương đương với $n^2+2^{n+1} -2n.2^{\frac{n+1}{2}} + n^2 > 2 $
<=> $(n - 2^{\frac{n+1}{2}} )^2 + n^2 > 2 $ đúng với n lẻ và $n \geq 3 $
=>ĐPCM

 

[ankhongu]

*) $n$ chẵn => tổng chia hết cho 2
*) $n$ lẻ
$n^4 + 4^n = (n^2)^2 + (2^n)^2 + 2.n^2.2^n - 2.n^2.2^n = (n^2+2^n)^2 - n^2.2^{n+1} = (n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}})(n^2+2^n +n.2^{\frac{n+1}{2}}) $
Cần chứng minh $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} \geq 1 $
Tương đương với $n^2+2^{n+1} -2n.2^{\frac{n+1}{2}} + n^2 \geq 2 $
<=> $(n - 2^{\frac{n+1}{2}} )^2 + n^2 \geq 2 $ đúng với n lẻ và $n \geq 3 $
=>ĐPCM

Cho em hỏi, nếu $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} = 1 $ thì biểu thức vẫn có thể là số nguyên tố mà ạ ?
Với cả cái n^2 kia anh thêm vào nhằm mục đích gì vậy ạ ?

 

[zzh0td0gzz]

Cho em hỏi, nếu $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} = 1 $ thì biểu thức vẫn có thể là số nguyên tố mà ạ ?
Với cả cái n^2 kia anh thêm vào nhằm mục đích gì vậy ạ ?

nhân đôi lên thì chứng minh dễ hơn nên khi nhân đôi xuất hiện thêm 1 số n^2 nữa
nguyên tố thì có sao đâu VD số 15=3.5 tích 2 số nguyên tố khác 1 nó vẫn là hợp số đấy thôi

 

[ankhongu]

*) $n$ chẵn => tổng chia hết cho 2
*) $n$ lẻ
$n^4 + 4^n = (n^2)^2 + (2^n)^2 + 2.n^2.2^n - 2.n^2.2^n = (n^2+2^n)^2 - n^2.2^{n+1} = (n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}})(n^2+2^n +n.2^{\frac{n+1}{2}}) $
Cần chứng minh $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} \geq 1 $
Tương đương với $n^2+2^{n+1} -2n.2^{\frac{n+1}{2}} + n^2 \geq 2 $
<=> $(n - 2^{\frac{n+1}{2}} )^2 + n^2 \geq 2 $ đúng với n lẻ và $n \geq 3 $
=>ĐPCM

Ý em muốn hỏi là nếu $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} = 1 $ thì khi đó nhỡ $n^2+2^n +n.2^{\frac{n+1}{2}}$ là số nguyên tố thì không thỏa mãn mà ạ ?
Vậy nên CM nó > 1 thì vẫn hơn đúng không ạ ?

 

[zzh0td0gzz]

Ý em muốn hỏi là nếu $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} = 1 $ thì khi đó nhỡ $n^2+2^n +n.2^{\frac{n+1}{2}}$ là số nguyên tố thì không thỏa mãn mà ạ ?
Vậy nên CM nó > 1 thì vẫn hơn đúng không ạ ?

ừ hợp lí có lẽ nên bỏ dấu bằng đã sửa nhé