Chứng minh đa thức

[turkey113]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

A(x) = -x^2 + 3x - 5
B(x) = 7 + 4x^2 -7x
Chứng minh trong hai đa thức A(x) và B(x) tồn tại ít nhất một đa thức có giá trị không âm với mọi giá trị của x.
Cảm ơn các bạn rất nhiều

 

[pinkylun]

$A(x) = -x^2 + 3x - 5$

$B(x) = 7 + 4x^2 -7x$

$=>B(x)-A(x)=4x^2-7x+7+x^2-3x+5=5x^2-10x+12=5x^2-10x+5+7=5(x^2-x-x+1)+7$

$=5(x-1)^2+7 \ge 7 >0$

$=>B(x)$ và $A(x)$ phải có ít nhất một số không âm

 

[sonsuboy]

$A(x) = -x^2 + 3x - 5$
$B(x) = 7 + 4x^2 -7x$
\Rightarrow $B(x)-A(x)=7+4x^2-7x+x^2-3x+5$
=$12+5x^2-10x$
=$5(x^2-2x)+12$
Do $5(x^2-2x)$\geq 0 \forall $x$
\Rightarrow $5(x^2-2x)+12$ \geq 12 \forall $x$
\Rightarrow Trong 2 đa thức có 1 đa thức có giá trị không âm

 

[duc_2605]

**** lời giải =))
B(x) = 7 + 4x^2 -7x
$= 4x^2 - 2.2x.\dfrac{7}{4} + \dfrac{49}{16} + \dfrac{63}{16}$
$= (2x - \dfrac{7}{4})^2 + \dfrac{63}{16} > 0 \forall x$
Mấy bài kiểu chứng minh > 0 thì làm dạng như này:
$ax^2 + bx + c$ cần chứng minh > 0
Tách: b = 2.a.d, c = d^2 + e
=> biểu thức cần chứng minh có dạng : $(a+d)^2 + e (\text{với} e > 0)$
Vd: $x^2 + 2x + 3 = x^2 + 2.x.1 + 1^2 + 2 = (x+1)^2 + 2 >0$