CMR: \forall n lẻ thì
a) [TEX](n^2+4n+3) \vdots 8[/TEX]
b)[TEX](n^3+3n^2-n-3) \vdots 48[/TEX]
c)[TEX](n^12-n^8-n^4+1) \vdots 512[/TEX]
d)[TEX](n^8-n^6-n^4+n^2) \vdots 1152[/TEX]
THANKS
a) [TEX]A=n^2+4n+3=(n^2+3n)+(n+3)=(n+1)(n+3)[/TEX].
Do [TEX]n[/TEX] lẻ, đặt [TEX]n=2k+1 \Rightarrow A=4(k+1)(k+2)[/TEX] chia hết cho [TEX]8[/TEX].
b) [TEX]B=n^3+3n^2-n-3=(n^3+3n^2+3n+1)-4(n+1)=(n+1)^3-4(n+1)=(n+1) \times [(n+1)^2-4]=(n+1)(n-1)(n+3)[/TEX].
Tương tự đặt [TEX]n=2k+1[/TEX] thì [TEX]B=8k(k+1)(k+2)[/TEX] chia hết cho [TEX]48[/TEX] do [TEX]k(k+1)(k+2)[/TEX] chia hết cho [TEX]6[/TEX] (cái này bạn tự chứng minh nhé)
c) [TEX]C=n^{12}-n^8-n^4+1[/TEX]
[TEX]=n^8(n^4-1)-(n^4-1)[/TEX]
[TEX]=(n^8-1)(n^4-1)[/TEX]
[TEX]=[(n^4-1)(n^4+1)] \times [(n^2-1)(n^2+1)][/TEX]
[TEX]= [(n^2-1)(n^2+1)(n^4+1)] \times [(n-1)(n+1)(n^2+1)][/TEX]
[TEX]= (n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)[/TEX].
Đặt [TEX]n=2k+1[/TEX].
[TEX]C=4k^2 \times 4(k+1)^2 \times 4(2k^2+2k+1)^2 \times 2(8k^4+16k^3+12k^2+4k+1)[/TEX]
[TEX]=128 \times [k(k+1)]^2 \times P[/TEX] chia hết cho [TEX]512[/TEX].
d) [TEX]D=n^8-n^6-n^4+n^2[/TEX]
[TEX]=n^2[n^4(n^2-1)-(n^2-1)][/TEX]
[TEX]=n^2(n^4-1)(n^2-1)[/TEX]
[TEX]=n^2(n^2-1)(n^2+1)(n-1)(n+1)[/TEX]
[TEX]=n^2(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)[/TEX].
[TEX]=[(n-1)n(n+1)]^2(n^2+1)[/TEX].
Nhận thấy [TEX]n-1,n,n+1[/TEX] là ba số nguyên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho [TEX]3[/TEX].
Mà do [TEX]n[/TEX] lẻ nên [TEX]n-1,n+1[/TEX] là hai số chẵn liên tiếp tích chúng chia hết cho [TEX]8[/TEX]
Tức khi đó [TEX](n-1)n(n+1)[/TEX] chia hết cho [TEX]24[/TEX].
Suy ra [TEX](n-1)n(n+1)[/TEX] chia hết cho [TEX]576[/TEX].
Do [TEX]n[/TEX] lẻ nên [TEX]n^2+1[/TEX] chẵn.
Như vậy [TEX]D[/TEX] sẽ chia hết cho [TEX]576.2=1152[/TEX].
Ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn