Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với đường phân giác trong AD. Biết CM = 1/2 AD. Chứng minh cosA = 4/5
Ta có: [tex]\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA} \right )=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}[/tex]
Lại có: [tex]\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}[/tex]
Vì [tex]\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}.\left ( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right )=0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2(b+c)}\left ( (c-2b)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+b\overrightarrow{AB}^2-2c\overrightarrow{AC}^2 \right )=0\Leftrightarrow c=2b\Leftrightarrow AC=AM[/tex]
Ta có: [tex]\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\left ( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right )=\frac{2}{3}\left ( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC} \right )[/tex]
[tex]\Rightarrow AD^2=\frac{4}{9}\left ( AM^2+AC^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC} \right )=\frac{8}{9}AM^2(1+cosA)[/tex]
[tex]CM^2=AC^2+AM^2-2AC.AM.cosA=2AM^2(1-cosA)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{CM^2}{AD^2}=\frac{2(1-cosA)}{\frac{8}{9}(1+cosA)}=\frac{1}{4}\Rightarrow cosA=\frac{4}{5}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
