Toán 10 Chứng minh có thể xếp các hình vuông cạnh 12,13,...,12023\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},...,\dfrac{1}{2023} vào hình vuông đơn vị

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,479
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Ta sẽ tổng quát hóa bài toán với các hình vuông cạnh 12,13,...,1n\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},...,\dfrac{1}{n}
Ta chia hình vuông đơn vị như sau:
1658503031171.png
Nhận thấy 12+14+18+...+12k<1\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^k}<1 nên ta có thể chia được như vậy.
Ở mỗi vùng có chiều rộng là 12i\dfrac{1}{2^i}, ta đặt các hình vuông cạnh 12i,12i+1,...,12i+11\dfrac{1}{2^i},\dfrac{1}{2^i+1},...,\dfrac{1}{2^{i+1}-1} theo cách sau:
1658503860612.png
Bởi vì 12i+12i+1+...+12i+11<12i+12i+...+12i=2i2i=1\dfrac{1}{2^i}+\dfrac{1}{2^i+1}+...+\dfrac{1}{2^{i+1}-1}<\dfrac{1}{2^i}+\dfrac{1}{2^i}+...+\dfrac{1}{2^i}=\dfrac{2^i}{2^i}=1 nên ta luôn có thể xếp được các hình vuông thỏa mãn như trên.
Vậy ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG
 
Top Bottom