Toán 8 Chứng minh chia hết

[anbinhf]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
a, [tex]n^{6}+n^{4}-2n^{2}[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b, [tex]3n^{2}-9[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
@hoàng việt nam

 

[Nguyễn Linh_2006]

Chứng minh rằng:
a, [tex]n^{6}+n^{4}-2n^{2}[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b, [tex]3n^{2}-9[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
@hoàng việt nam

Chị thấy đề bài câu b có vấn đề
Nếu lấy [tex]n=1[/tex] thì ở câu b : [tex]3n^2-9=-3[/tex] không chia hết cho 72

 

[kido2006]

Chứng minh rằng:
a, [tex]n^{6}+n^{4}-2n^{2}[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b, [tex]3n^{2}-9[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
@hoàng việt nam

[tex]a,A=n^{6}+n^{4}-2n^{2}=n^2(n^2+2)(n^2-1)=n^2(n^2-4)(n^2-1)+6n^2(n^2-1)[/tex]
[tex]=(n-2)(n-1)n.n(n+1)(n+2)+6(n-1)n.n(n+1)[/tex]
Xét n=1,n=2 (thỏa mãn)
Xét n>2 , Vì [tex](n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)[/tex] là 5 số tự nhiên liên tiếp
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (n-2)(n-1)n\vdots 3\\ (n+2)(n+1)n\vdots 3\\ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\vdots 8\\ (n-1)n\vdots 2\\ (n+1)n\vdots 2\\ n(n-1)(n+2)\vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2(n^2-4)(n^2-1)\vdots 9\\ n^2(n^2-4)(n^2-1)\vdots 8\\ n^2(n-1)(n+1)\vdots 4\\n^2(n-1)(n+1)\vdots 3 \end{matrix}\right.[/tex]
Mà [tex](9;8)=1;(6;4;3)=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2(n^2-4)(n^2-1)\vdots 9.8=72\\ 6n^2(n-1)(n+1)\vdots 72 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow A\vdots 72[/tex]
b,Xem lại đề , với n=1,2,3,4,5,.. thì sẽ không thỏa mãn :vv

 

[hoàng việt nam]

Chứng minh rằng:
a, [tex]n^{6}+n^{4}-2n^{2}[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b, [tex]3n^{2}-9[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
@hoàng việt nam

a. [tex]A=n^{6}+n^{4}-2n^{2}=...=n^2(n-1)(n+1)(n^2+2)[/tex]
Xét n chia hết cho 2 thì n có dạng 2k (k thuộc Z)
=> [TEX]A=4k^2.(2k-1)(2k+1)(4k^2+2)=8k^2(2k-1)(2k+1)(2k^2+1)([/TEX] => A chia hết cho 8
Xét n chia 2 dư 1 thì n có dạng 2k+1 (k thuộc Z)
=> [TEX]A=(2k+1)^2.2k.(2k+2)[(2k+1)^2+2]=4k(k+1)(2k+1)^2[(2k+1)^2+2][/TEX]
Do k(k+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên k(k+1) chia hết cho 2 =>4k(k+1) chia hết cho 8
Vậy A chia hết cho 8 với mọi số nguyên n (1)
Nếu n chia hết cho 3 thì [TEX]n^2[/TEX] chia hết cho 9 => A chia hết cho 9
Nếu n chia cho 3 dư 1 hoặc 2 thì [TEX]n^2[/TEX] chia 3 dư 1 (do [TEX]n^2[/TEX] là scp) => [TEX]n^2+2[/TEX] chia hết cho 3
Do n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 9
Do đó A chia hết cho 9 với mọi số nguyên n (2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex]A \vdots 8;9[/tex]
Mà (8:9)=1 và 8.9=72 => [tex]A \vdots 72[/tex]