Toán 9 Chứng minh chia hết

[Hồng Vânn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z [tex]\epsilon Z[/tex] và biểu thức :
[tex]P=\frac{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-z^2)^3}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz}[/tex]
CMR: P nguyên và P [tex]\vdots 6[/tex]

 

[7 1 2 5]

Biến đổi tử:[tex](x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-z^2)^3=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)[/tex]
*Công thức:[tex]a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a=b=c hoặc a+b+c=0[/tex]
Còn cái mẫu không biết biến đổi sao cả. Hình như thiếu 2xyz thì phải..

 

[Hồng Vânn]

Biến đổi tử:[tex](x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-z^2)^3=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)[/tex]
*Công thức:[tex]a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a=b=c hoặc a+b+c=0[/tex]
Còn cái mẫu không biết biến đổi sao cả. Hình như thiếu 2xyz thì phải..

Thiếu bạn ạ, mình gõ thiếu, mình bổ sung bạn biến đổi hộ mình với.

 

[7 1 2 5]

Biến đổi mẫu:[tex]x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)\Rightarrow P=3(x-y)(y-z)(z-x)[/tex]
Cần chứng minh [tex](x-y)(y-z)(z-x)\vdots 2[/tex]
Thật vậy, giả sử (x-y)(y-z)(z-x) lẻ. Khi đó [tex]\left\{\begin{matrix} x-y lẻ\\ y-z lẻ \\ z-x lẻ \end{matrix}\right.\Rightarrow x-y+y-z+z-x lẻ \Rightarrow 0 lẻ(vô lí)[/tex]
Vậy[tex](x-y)(y-z)(z-x)\vdots 2 hay P\vdots 6[/tex]

 

[Hồng Vânn]

Biến đổi mẫu:[tex]x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)\Rightarrow P=3(x-y)(y-z)(z-x)[/tex]

Chỗ này mình tách không được, nếu được, câu tách rõ hơn được không ?

 

[7 1 2 5]

Tối ưu nhất là nhân bung 2 vế rồi so sánh thôi...
Ta thấy:[tex]x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz=x^2(y+z)+y^2z+yz^2+z^2x+xy^2+2xyz=x^2(y+z)+yz(y+z)+x(y^2+2yz+z^2)=x^2(y+z)+yz(y+z)+x(y+z)^2=(y+z)(x^2+xy+xz+yz)=(x+y)(y+z)(z+x)[/tex]