Toán 9 chứng minh chia hết

[Hanhh Mingg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng [tex]n^6+n^4-2n^2[/tex] chia hết cho 72 với mọi số nguyên n.
Mong mọi người giải thích tường tận giúp em với ạ

 

[Khánh Ngô Nam]

Đặt B = [tex]n^6+n^4-2n^2[/tex]
[tex]= n^2(n^4+n^2-2)[/tex]
[tex]=n^2[(n^2-1)(n^2+1)+n^2-1][/tex]
[tex]=n^2(n^2-1)(n^2+2)[/tex]
Ta chứng minh [tex]B\vdots 9[/tex]

• Nếu [tex]n\equiv 0 (mod 3) \Leftrightarrow n\vdots 3 \Rightarrow B\vdots 9[/tex]
• Nếu [tex]n\equiv 1 (mod 3)\Rightarrow n^2 =1(mod 3)[/tex]

[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2-1\equiv 0 (mod 3) & \\ n^2 +2 \equiv 0(mod 3) & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow (n^2-1)(n^2+1)\vdots 9 \Rightarrow B\vdots 9[/tex]

• Nếu [tex]n\equiv -1 (mod 3)\Rightarrow n^2 =1(mod 3)[/tex]

[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2-1\equiv 0 (mod 3) & \\ n^2 +2 \equiv 0(mod 3) & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow (n^2-1)(n^2+1)\vdots 9 \Rightarrow B\vdots 9[/tex]
Từ 3 TH trên nên [tex]B\vdots 9[/tex] (1)
Ta chứng minh [tex]B\vdots 8[/tex]
B viết lại
B = [tex]n^2(n-1)(n+1)(n^2+2)[/tex]

• [tex]n=4k\Rightarrow n\vdots 4\Rightarrow n^2\vdots 8\Rightarrow B\vdots 8[/tex]
• [tex]n=4k+1\Rightarrow n-1 =4k\vdots 4 và n+1 =4k+2\vdots 2 \Rightarrow B\vdots 8[/tex]
• [tex]n=4k+2\Rightarrow n\vdots 2\rightarrow n^2\vdots 4 và n^2+2\vdots 2\Rightarrow B\vdots 8[/tex]
• [tex]n=4k+3 \Rightarrow n-1=4k+2\vdots 2 và n+1 =4k+4\vdots 4\Rightarrow B\vdots 8[/tex]

Từ các TH trên suy ra [tex]B\vdots 8[/tex] (2)
Từ (1);(2)
và 8,9 là 2 ngtố cùng nhau nên nên [tex]B\vdots 72[/tex] (đpcm)

 

[Hanhh Mingg]

Đặt B = [tex]n^6+n^4-2n^2[/tex]
[tex]= n^2(n^4+n^2-2)[/tex]
[tex]=n^2[(n^2-1)(n^2+1)+n^2-1][/tex]
[tex]=n^2(n^2-1)(n^2+2)[/tex]
Ta chứng minh [tex]B\vdots 9[/tex]

• Nếu [tex]n\equiv 0 (mod 3) \Leftrightarrow n\vdots 3 \Rightarrow B\vdots 9[/tex]
• Nếu [tex]n\equiv 1 (mod 3)\Rightarrow n^2 =1(mod 3)[/tex]

[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2-1\equiv 0 (mod 3) & \\ n^2 +2 \equiv 0(mod 3) & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow (n^2-1)(n^2+1)\vdots 9 \Rightarrow B\vdots 9[/tex]

• Nếu [tex]n\equiv -1 (mod 3)\Rightarrow n^2 =1(mod 3)[/tex]

[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2-1\equiv 0 (mod 3) & \\ n^2 +2 \equiv 0(mod 3) & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow (n^2-1)(n^2+1)\vdots 9 \Rightarrow B\vdots 9[/tex]
Từ 3 TH trên nên [tex]B\vdots 9[/tex] (1)
Ta chứng minh [tex]B\vdots 8[/tex]
B viết lại
B = [tex]n^2(n-1)(n+1)(n^2+2)[/tex]

• [tex]n=4k\Rightarrow n\vdots 4\Rightarrow n^2\vdots 8\Rightarrow B\vdots 8[/tex]
• [tex]n=4k+1\Rightarrow n-1 =4k\vdots 4 và n+1 =4k+2\vdots 2 \Rightarrow B\vdots 8[/tex]
• [tex]n=4k+2\Rightarrow n\vdots 2\rightarrow n^2\vdots 4 và n^2+2\vdots 2\Rightarrow B\vdots 8[/tex]
• [tex]n=4k+3 \Rightarrow n-1=4k+2\vdots 2 và n+1 =4k+4\vdots 4\Rightarrow B\vdots 8[/tex]

Từ các TH trên suy ra [tex]B\vdots 8[/tex] (2)
Từ (1);(2)
và 8,9 là 2 ngtố cùng nhau nên nên [tex]B\vdots 72[/tex] (đpcm)

ở phần chứng minh chia hết cho 9 liệu còn cách khác ngoài dùng mod không ạ ?

 

[Khánh Ngô Nam]

ở phần chứng minh chia hết cho 9 liệu còn cách khác ngoài dùng mod không ạ ?

Ta có

• Nếu n =3k ([tex]N\vdots 3[/tex])

[tex]\Rightarrow B =9k^2(9k^2-1)(9k^2+2)\vdots 9\rightarrow B \vdots 9[/tex]

• Nếu n=3k+1(N chia 3 dư 1)

[tex]\Rightarrow B =(3k+1)^2[(3k+1)^2-1][(3k+1)^2+2][/tex]
[tex]=(3k+1)^2(9k^2+6k)(9k^2+6k+3)[/tex]
[tex]=(3k+1)^2.3(3k^2+2k).3(3k^2+2k+1)=9(3k+1)^2(3k^2+2k)(3k^2+2k+1)\vdots 9[/tex]
[tex]\Rightarrow B\vdots 9[/tex]

• Nếu n=3k-1 (N chia 3 dư 2)

[tex]\Rightarrow B =(3k-1)^2[(3k-1)^2-1][(3k-1)^2+2][/tex]
[tex]=(3k+1)^2(9k^2-6k)(9k^2-6k+3)[/tex]
[tex]=(3k+1)^2.3(3k^2-2k).3(3k^2-2k+1)=9(3k+1)^2(3k^2-2k)(3k^2-2k+1)\vdots 9[/tex]
[tex]\Rightarrow B\vdots 9[/tex]
Từ các TH trên
[tex]\Rightarrow B\vdots 9[/tex]