Chung Minh Chia HEt

[phuoclaai1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: Với mọi n la so tu nhien, n>1 thi n^n-n^2+n-1 chia het cho (n-1)^2

 

[tien_thientai]

CMR: Với mọi n la so tu nhien, n>1 thi n^n-n^2+n-1 chia het cho (n-1)^2

Ta có
n^{n}-n^{2}+n-1 chia het cho (n-1)^{2}
Khi ca 2 co cung nghiệm(cung co mot so n làm cho cả 2 cùng=0)
Mà nghiem cua (n-1)^{2} là 1
Thay vao n^{n}-n^{2}+n-1 thi thay =0
\Rightarrow có cùng nghiệm
Vậy thì chia hết thôi!!!

 

[vipboycodon]

Với $n = 2$ thì $n^2-n+n-1 = 2^2-2^2+2-1 = 1$ chia hết cho $($n$-1)^2 = (2-1)^2 = 1$
Với $n > 2$ ta có:
$n^n-n^2+n-1$
= $(n^{n-2}-1)n^2+n-1$
= $(n-1)(n^{n-3}+n^{n-4}+...+1)n^2+n-1$
= $(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1)$
Tổng $n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1$ có $n-1$ số hạng nên có thể viết:
$n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1 = (n^{n-1}-1)+(n^{n-2}-1)+...+(n^2-1)+(1-1)+(n-1)$ chia hết cho $n-1$
=> đpcm
Mình làm nhanh nên thiếu gì thì ý kiến nhé

@manhnguyen0164: Có chỗ chữ đỏ là viết nhầm n thành x, sửa rồi ạ

 

[pl09]

Với $n = 2$ thì $n^2-n+n-1 = 2^2-2^2+2-1 = 1$ chia hết cho $($n$-1)^2 = (2-1)^2 = 1$
Với $n > 2$ ta có:
$n^n-n^2+n-1$
= $(n^{n-2}-1)n^2+n-1$
= $(n-1)(n^{n-3}+n^{n-4}+...+1)n^2+n-1$
= $(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1)$
Tổng $n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1$ có $n-1$ số hạng nên có thể viết:
$n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1 = (n^{n-1}-1)+(n^{n-2}-1)+...+(n^2-1)+(1-1)+(n-1)$ chia hết cho $n-1$
=> đpcm
Mình làm nhanh nên thiếu gì thì ý kiến nhé
tại sao lại thay n=2 với cả n>2???

 

[manhnguyen0164]

Với $n = 2$ thì $n^2-n+n-1 = 2^2-2^2+2-1 = 1$ chia hết cho $($n$-1)^2 = (2-1)^2 = 1$
Với $n > 2$ ta có:
$n^n-n^2+n-1$
= $(n^{n-2}-1)n^2+n-1$
= $(n-1)(n^{n-3}+n^{n-4}+...+1)n^2+n-1$
= $(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1)$
Tổng $n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1$ có $n-1$ số hạng nên có thể viết:
$n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1 = (n^{n-1}-1)+(n^{n-2}-1)+...+(n^2-1)+(1-1)+(n-1)$ chia hết cho $n-1$
=> đpcm
Mình làm nhanh nên thiếu gì thì ý kiến nhé
tại sao lại thay n=2 với cả n>2???

Vì đề cho $n\in N, n>1$ nên xét vậy thôi!..........................................

 

[pl09]

Tổng $n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1$ có $n-1$ số hạng nên có thể viết:
$n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^2+1 = (n^{n-1}-1)+(n^{n-2}-1)+...+(n^2-1)+(1-1)+(n-1)$ chia hết cho $n-1$
=> đpcm
Bạn nào gải thích cho mình chỗ này với