Giải:
Ta có : $4\equiv 4 (mod5)$ và $4^{3}\equiv 4 (mod5)$ nên $4^{2k+1}\equiv 4(mod5)$
tương tự $4^{2}\equiv 1 (mod5)$ và $4^{4}\equiv 1 (mod5)$ nên $4^{2k}\equiv 1 (mod5)$
Xét :
+) $n=2k$ ( $k\in \mathbb{N}$ và k lẻ ) thì
$A_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+6=4^{2k}.2+4^{k}.2+6\equiv 1.2+4.2+6\equiv 1(mod5)$
$B_{n}=2^{2n+1}-2^{n+1}+6=4^{2k}.2-4^{k}.2+6\equiv 1.2-4.2+6\equiv 0(mod5)$
+) $n=2k$ ( $k\in \mathbb{N}$ và k chẵn ) thì
$A_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+6=4^{2k}.2+4^{k}.2+6\equiv 1.2+1.2+6\equiv 0(mod5)$
$B_{n}=2^{2n+1}-2^{n+1}+6=4^{2k}.2-4^{k}.2+6\equiv 1.2-1.2+6\equiv 1(mod5)$
+) $n=2k+1$ ( $k\in \mathbb{N}$ và k lẻ ) thì
$A_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+6=4^{2k+1}.2+4^{k+1}+6\equiv 4.2+1+6\equiv 0(mod5)$
$B_{n}=2^{2n+1}-2^{n+1}+6=4^{2k+1}.2-4^{k+1}+6\equiv 4.2-1+6\equiv 3(mod5)$
+) $n=2k+1$ ( $k\in \mathbb{N}$ và k chẵn ) thì
$A_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+6=4^{2k+1}.2+4^{k+1}+6\equiv 4.2+4+6\equiv 3(mod5)$
$B_{n}=2^{2n+1}-2^{n+1}+6=4^{2k+1}.2-4^{k+1}+6\equiv 4.2-4+6\equiv 0(mod5)$
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
P/S: Cách này dài quá.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
và
. Chứng minh rằng với mỗi n cho trước chỉ có
hoặc
chia hết cho 5