Ta sẽ đi chứng minh [TEX]A=a^5-a \ \vdots 30 \; \forall a \in \mathbb{Z}[/TEX].
Thật vậy, áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:
+) [TEX]a^2 \equiv a \pmod{2} \Rightarrow a^3 \equiv a^2 \equiv a \pmod{2} \Rightarrow a^3-a \ \vdots 2[/TEX].
Từ [TEX]a^3 \equiv a \pmod{2} \Rightarrow a^5 \equiv a^3 \equiv a \pmod{2} \Rightarrow a^5-a \ \vdots 2[/TEX].
+) [TEX]a^3 \equiv a \pmod{3} \Rightarrow a^5 \equiv a^3 \equiv a \pmod{3} \Rightarrow a^5-a \ \vdots 3[/TEX].
+) [TEX]a^5 \equiv a \pmod{5} \Rightarrow a^5-a \vdots 5[/TEX].
Vì [TEX]2,3,5[/TEX] đôi một nguyên tố cùng nhau nên [TEX]A \vdots 2.3.5=30[/TEX].
Quay lại bài toán: Xét hiệu [TEX]P=(a^5+b^5+c^5)-(a+b+c)=(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)[/TEX] chia hết cho [TEX]30[/TEX].
Mà [TEX]a+b+c \vdots 30 \Rightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 30[/TEX].
Tổng quát: Với [TEX]a_1+a_2+ \cdots + a_n \ \vdots 30[/TEX] thì [TEX]a_1^5+a_2^5+ \cdots + a_n^5[/TEX] chia hết cho [TEX]30[/TEX] với [TEX]n \in \mathbb{N}^*[/TEX].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn