Chứng minh chia hết

L

luffy_1998

$1 + 1 \vdots \ 2^1 \ \rightarrow$ mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử $(k +1)(k + 2)...(2k) \ \vdots 2^k$
$\rightarrow 2(k +1)(k + 2)...(2k) \vdots 2^{k+1}$
$\rightarrow (k + 2)...(2k)(2k + 2) \vdots 2^{k+1}$
$\rightarrow (k + 2)...(2k)(2k+1)(2k + 2) \ \vdots 2^{k+1}$
Vậy nếu mệnh đề đúng với n = k thì nó cũng đúng với n = k + 1, tức là mệnh đề đúng với $∀n \in N^*$
 
T

thaiha_98

luffy_1998 said:
$1 + 1 \vdots \ 2^1 \ \rightarrow$ mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử $(k +1)(k + 2)...(2k) \ \vdots 2^k$
$\rightarrow 2(k +1)(k + 2)...(2k) \vdots 2^{k+1}$
$\rightarrow (k + 2)...(2k)(2k + 2) \vdots 2^{k+1}$
$\rightarrow (k + 2)...(2k)(2k+1)(2k + 2) \ \vdots 2^{k+1}$
Vậy nếu mệnh đề đúng với n = k thì nó cũng đúng với n = k + 1, tức là mệnh đề đúng với $∀n \in N^*$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Chỗ màu đen là sao nhỉ?
______________________________________
 
N

nguyenbahiep1

green_tran said:
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì:
[TEX](n+1)(n+2)....(2n)[/TEX] chia hết cho [TEX]2^n[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]u_n = (n+1)(n+2)....(2n) \\ u_{n+1} = (n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2) \\ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+2)....(2n)} = \frac{2(2n+1)(n+1)}{n+1} = 2(2n+1) \\ \Rightarrow u_{n+1} = u_{n}.2.(2n+1) \\ u_n = u_{n-1}2.(2n-1} = u_{n-2}.2^2.(2n-3)(2n-1) =.......= u_1.2^{n-1}.(2n-1)!! = 2.2^{n-1}.(2n-1)!! = (2n-1)!!.2^{n}[/TEX]

vậy chia hết cho

[TEX]2^n[/TEX]

kí hiệu (2n-1)!! là số lẻ giai thừa nhé tức là 3.5.7....(2n-1)
 
T

thutuanprocute

de thoi ma

Đặt A (n) =
latex.php

\LeftrightarrowA(n)=(n+1)(n+2)...(n+n)
A(1)=2 chia het cho 2^1=2
giai su voi\foralln nguyen duong thi A chia het cho 2^n
ta can chung minh A(n+1) chia het cho 2^(n+1)
khi do
A(n+1)=(n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)=(n+2)(n+3)...(n+n)(2n+1)2(n+1)=A(n).(2n+1).2 chia het cho 2^(n+1)
 
G

green_tran

Cách giải của Nguyenbahiep1 rất hay, mình còn có một cách giải nữa cũng khá hay

Ta viết biểu thức [TEX](n+1)(n+2)(n+3)....(2n)=\frac{1.2.3...n(n+1)(n+2)...(2n)}{1.2.3...n}=[1.3.5....(2n-1)].\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}[/TEX]
Biểu thức [TEX]\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}[/TEX] rút gọn thành [TEX]\frac{(1.2.3...n).2^n}{1.2.3...n}=2^n[/TEX]
Như vậy [TEX](n+1)(n+2)(n+3)...(2n)[/TEX] chia hết cho [TEX]2^n[/TEX].:)
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenbahiep1

green_tran said:
Cách giải của Nguyenbahiep1 rất hay, mình còn có một cách giải nữa cũng khá hay
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
green_tran said:

Ta viết biểu thức [TEX](n+1)(n+2)(n+3)....(2n)=\frac{1.2.3...n(n+1)(n+2)...(2n)}{1.2.3...n}=[1.3.5....(2n-1)].\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}[/TEX]
Biểu thức [TEX]\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}[/TEX] rút gọn thành [TEX]\frac{(1.2.3...n).2^n}{1.2.3...n}=2^n[/TEX]
Như vậy [TEX](n+1)(n+2)(n+3)...(2n)[/TEX] chia hết cho [TEX]2^n[/TEX].:)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


cách đó với cách của mình là 1 đó mà bạn

[TEX]1.3.5....(2n-1) = (2n-1)!![/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom