chứng minh chia hết

[tunhi_99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
[TEX]10^n+ 18n-1[/TEX] chia hết cho 27
tks

 

[heartrock_159]

Giả sử : [TEX]10^n + 18n - 1[/TEX] chia hết cho 27
Cần chứng minh :
[TEX]10^{(n+1)} + 18(n+1) - 1[/TEX] chia hết cho 27 (số hạng tiếp theo) (a)
[TEX]= 10^n.10 + 18n + 17 [/TEX]
[TEX]= 10(10^n + 18n - 1) - 162n + 27[/TEX]
[TEX]= 10(10^n + 18n - 1) - 27(6n - 1) [/TEX]
Vậy [TEX]10^n + 18n - 1[/TEX] chia hết cho 27

 

[tep1999]

Ta có: [TEX]10^n+ 18n- 1[/TEX]
[TEX]= 10^n- 1+ 27n- 9n[/TEX]
[TEX]= \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 9} \\ n \end{matrix}+ 27n- 9n[/TEX]
Ta có: [TEX]27n [/TEX] chia hết cho 27
Nên ta cần c/m [TEX]\begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 9 } \\ n \end{matrix}- 9n[/TEX] chia hết cho 27.
Ta có: [TEX]\begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 9 } \\ n \end{matrix}- 9n[/TEX]
= 9 [TEX](\begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ n \end{matrix}- n)[/TEX]
Xét biểu thức trong ngoặc:
[TEX]\begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ n \end{matrix}- n= \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ n \end{matrix}+ 2n- 3n[/TEX] (1)
+Xét [TEX]n= 3k \Rightarrow (1)= \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ 3k \end{matrix}+ 6k- 3k[/TEX] chia hết cho 3. (2)
+Xét [TEX]n= 3k+1 \Rightarrow (1)= \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1+1 } \\ 3k+1 \end{matrix}+ 2(3k+1)- 3(3k+1)[/TEX]
[TEX]= \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ 3k \end{matrix}+6k- 3k+1+2-3[/TEX] chia hết cho 3. (3)
+Xét [TEX]n= 3k+2 \Rightarrow (1)= \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1+2 } \\ 3k+2 \end{matrix}+ 2(3k+2)- 3(3k+2)[/TEX]
[TEX]=\begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ 3k \end{matrix}+6k- 9k +2+4- 6[/TEX] chia hết cho 3. (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra[TEX] \begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ n \end{matrix}- n[/TEX] chia hết cho 2.
[TEX]\Rightarrow 9(\begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ n \end{matrix}- n)[/TEX] chia hết cho 27 (vì 9 chia hết cho 9 và [TEX]\begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1 } \\ n \end{matrix}- n[/TEX] chia hết cho 3, cmt)
Vậy [TEX] \begin{matrix} \underbrace{ 999\cdots 9} \\ n \end{matrix}+ 27n- 9n[/TEX] chia hết cho 27.
Hay [TEX]10^n+ 18n- 1[/TEX] chia hết cho 27. (đpcm)

 

[braga]

Cách 3: Với [TEX]n=0[/TEX] Ta có: [TEX]10^0+18.0-1=0 \vdots 27[/TEX]

Với [TEX]n\geq 1[/TEX] ta có:

[TEX]10^n-1+18n=(10-1)\(10^{n-1}+10^{n-2}+...........+10+1\)+18n[/TEX]

[TEX]=9\(10^{n-1}+10^{n-2}+...........+10+1-n+3n\)[/TEX]

[TEX]=9\[\(10^{n-1}-1\)+\(10^{n-2}-1\)+..................+(10-1)+(1-1)+3n[/TEX]
​

Do [TEX]10^k-1\vdots 3 [/TEX] và [TEX]3n\vdots 3 \Rightarrow 10^n+18n-1=0 \vdots 27 [/TEX]​