Ta có: a^8 + 3a^4 - 4 = (a^4 - 1)(a^4 + 4)
Vì a không chia hết cho 5 và 5 là số nguyên tố
=> a^(5-1) đồng dư với 1 (mod 5) (định lí Fermat nhỏ)
Hay a^4 đồng dư với 1 (mod 5)
=> a^4 - 1 chia hết cho 5 (1) => a^4 - 1 + 5 chia hết cho 5 => a^4 + 4 chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (a^4 - 1)(a^4 + 4) chia hết cho 25 (*)
Xét 2 trường hợp:
- Nếu a không chia hết cho 2, tức là a đồng dư với 1 (mod 2)
=> a^4 đồng dư với 1^4 (mod 2^4)
Hay a^4 đồng dư với 1 (mod 16)
=> a^4 -1 chia hết cho 16 hay a^4 - 1 chia hết cho 4
=> (a^4 - 1)(a^4 + 4) chia hết cho 4
- Nếu a chia hết cho 2 thì a^4 chia hết cho 16 hay chia hết cho 4
=> a^4 + 4 chia hết cho 4
=> (a^4 - 1)(a^4 + 4) chia hết cho 4
Như vậy với mọi a ta luôn có (a^4 - 1)(a^4 + 4) chia hết cho 4 (**)
Từ (*) và (**) => (a^4 - 1)(a^4 + 4) chia hết cho BCNN(25, 4) = 100
Hay a^8 + 3a^4 - 4 chia hết cho 100 (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
