Toán Chứng minh chia hết , hằng đẳng thức

[huyhihung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: x^m+x^n+1 chia hết cho x^2+x+1 khi và chỉ khi (mn-2) chia hết cho 3

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đặt :[tex]\left\{\begin{matrix} &m=3k+r \\ &n=3t+s \end{matrix}\right. \\ (0 \leq r \leq 2[/tex]
Khi đó:[tex]x^m+x^n+1 \\=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1 \\=x^{3k}.x^r-x^r+x^{3t}.x^s-x^s+x^r+x^s+1 \\=x^2r(x^{3k}-1)+x^s(x^{3t}-1)+x^r+x^s+1 \\x^{3k}-1 \vdots (x^2+x+1),x^{3t}-1 \vdots (x^2+x+1) \\\Leftrightarrow (x^r+x^s+1) \vdots (x^2+x+1) \\\Leftrightarrow (s,r)=(1,2);(2,1) \\\Rightarrow m=3k+2,n=3k'+1;m=3k+1,n=3k'+2[/tex]
Sau đó bạn nhân $mn-2$ sẽ ra điều phải chứng minh...