chứng minh chia hết ??? cần gấp đêm nay.

[codinh24]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh đa thức

chia hết cho đa thức x.(x+1)(2x+1)

 

[duynhan1]

chứng minh đa thức

chia hết cho đa thức x.(x+1)(2x+1)

[TEX]x+1 \equiv 1 \pmod{x}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow(x+1)^{2n} \equiv 1 \pmod{x}[/TEX]

Lại có : [TEX]2x+1 \equiv 1 \pmod{x}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x+1)^{2n} \ \ - \ \ (2x+1) -x^{2n} \ \ \vdots \ \ x(1)[/TEX]

[TEX]x \equiv -1 \pmod{x+1}[/TEX]

[TEX]x^{2n} \equiv 1 \pmod{x+1}[/TEX]

[TEX]2x+1 \equiv -1 \pmod{x+1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^{2n} + 2x+1 \vdots \ \ {x+1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x+1)^{2n} \ \ - \ \ (x^{2n} + 2x + 1 ) \vdots \ \ {x+1}(2)[/TEX]

Ta có : [TEX]x+1 \equiv -x \pmod{2x+1} [/TEX]

[TEX](x+1)^n \equiv -x^n \pmod{2x+1} [/TEX]

[TEX](x+1)^n + x^n \ \ \vdots \ \ {2x+1} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x+1)^{2n} - x^{2n} \ \ \vdots \ \ 2x+1[/TEX]

Mà [TEX](x+1)^{2n} \ \ - x^{2n} = ((x+1)^n \ \ - \ \ x^{n})((x+1)^n + x^n)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x+1)^{2n} - x^{2n} - (2x+1) \ \ \vdots \ \ {2x+1}(3) [/TEX]

Laị có : Dễ dàng chứng minh [TEX]x; x+1 ; 2x +1 [/TEX] nguyên tố cùng nhau theo từng đôi 1 nên từ [TEX](1)&(2) &(3)[/TEX] ta có :

[TEX]\vdots \ \ x(x+1)(2x+1)[/TEX]