Chứng minh các biểu thức sau dương với mọi giá trị của x

[phanh2821]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) x^2+x+1
b) 4y^2+[tex]\frac{4}{9}[/tex]x^2-[tex]\frac{4}{3}x[/tex]+3
c)x^2+[tex]\frac{2}{3}x[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex]
d)3x^2-6x+4

 

[candyiukeo2606]

a, [TEX]x^2 + x + 1[/TEX]
= [TEX](x^2 + x + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4}[/TEX]
= [TEX](x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}[/TEX]
Vì [TEX](x + \frac{1}{2})^2 \geq 0[/TEX] với mọi x
=> [TEX](x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0[/TEX] với mọi x
b, [TEX]4y^2 + \frac{4x^2}{9} - \frac{4x}{3} + 3[/TEX]
= [TEX]4y^2 + \frac{1}{9}(4x^2 - 12x + 4) + \frac{23}{9}[/TEX]
= [TEX]4y^2 + \frac{1}{9}(2x - 2)^2 + \frac{23}{9}[/TEX]
Vì [TEX]4y^2 \geq 0[/TEX] với mọi y
[TEX]\frac{1}{9}(2x - 2)^2 \geq 0[/TEX] với mọi x
=> [TEX]4y^2 + \frac{1}{9}(2x - 2)^2 + \frac{23}{9} > 0[/TEX] với mọi x, y
c, [TEX]x^2 + \frac{2x}{3} + \frac{1}{3}[/TEX]
= [TEX](x^2 + \frac{2x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{9}[/TEX]
= [TEX](x + \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}[/TEX]
Vì [TEX](x + \frac{1}{3})^2 \geq 0[/TEX] với mọi x
=> [TEX](x + \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} > 0[/TEX] với mọi x
d, [TEX]3x^2 - 6x + 4[/TEX]
= [TEX]3(x^2 - 2x + 1) + 1[/TEX]
= [TEX]3(x - 1)^2 + 1[/TEX]
Vì [TEX]3(x - 1)^2 \geq 0[/TEX] với mọi x
=> [TEX]3(x - 1)^2 + 1 > 0[/TEX] với mọi x

 

[Blue Plus]

a) x^2+x+1
c)x^2+[tex]\frac{2}{3}x[/tex]+[tex]\frac{1}{3}[/tex]
d)3x^2-6x+4

a,
[tex]x^2+x+1 \\=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4} \\=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \\(x+\frac{1}{2})^2\geq 0\forall x \\\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0\forall x[/tex]
Vậy [tex]x^2+x+1[/tex] luôn là số dương
c,
[tex]x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\\=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\\=(x+\frac{1}{3})^2+\frac{2}{9}\\(x+\frac{1}{3})^2\geq 0\forall x\\(x+\frac{1}{3})^2+\frac{2}{9}\geq \frac{2}{9}>0\forall x[/tex]
Vậy [tex]x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}[/tex] luôn là số dương