Chứng minh các BĐT sau:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)[TEX](\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=2.\sqrt{2(a+b).\sqrt{ab}}[/TEX] (với [TEX]a; b \geq 0[/TEX])
2)Với [TEX]a; b; c \geq 0[/TEX] thì [TEX]a+b+c \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/TEX]
3)[TEX]\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} (a; b>0)[/TEX]
4)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh:
a)[TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a} \geq 6[/TEX]
b)[TEX]\frac{a+5}{a}+\frac{a+5}{5} \geq 4[/TEX]
5)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
a)[TEX]\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}<5[/TEX]
6)Cho [TEX]a; b; c \geq 0[/TEX]. Chứng minh:
a)[TEX](a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 4[/TEX]
b)[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]
7)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX](a+c)(a+1)(b+1)(b+c) \geq 16abc[/TEX]
8)Cho [TEX]x>y; xy=1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{x^2+y^2}{x-y} \geq 2\sqrt{2}[/TEX]
9)Cho [TEX]a; b>0; a+b<1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]a^4+b^4 \geq \frac{1}{8}[/TEX]
10)Cho [TEX]0<a; b; c<1[/TEX]. Chứng minh ít nhất 1 trong 3 BĐT sau sai:
+)[TEX]a(1-b)>\frac{1}{4}[/TEX]
+)[TEX]b(1-c)>\frac{1}{4}[/TEX]
+)[TEX]c(1-a)>\frac{1}{4}[/TEX]
11)Cho [TEX]0<a; b; c; d<1[/TEX]. Chứng minh ít nhất 1 trong các BĐT sau sai:
+)[TEX]2a(1-b)>1[/TEX]
+)[TEX]3b(1-c)>2[/TEX]
+)[TEX]8c(1-d)>1[/TEX]
+)[TEX]32d(1-a)>3[/TEX]
12)Cho [TEX]a; b; c; d>0[/TEX]. Chứng minh trong các số sau có ít nhất 1 số dương:
+)[TEX]2a+b-2\sqrt{cd}[/TEX]
+)[TEX]2a+c-2\sqrt{ad}[/TEX]
+)[TEX]2c+d-2\sqrt{ab}[/TEX]
+)[TEX]2d+a-2\sqrt{bc}[/TEX]
13)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX]. Chứng minh:[TEX](xyz+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x} \geq x+y+z+6[/TEX]
14)Cho [TEX]a; b; c[/TEX] là 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
[TEX]abc \geq 8(p-a)(p-b)(p-c)[/TEX]

 

[phamhuy20011801]

1)[TEX](\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=2.\sqrt{2(a+b).\sqrt{ab}}[/TEX] (với [TEX]a; b \geq 0[/TEX])
2)Với [TEX]a; b; c \geq 0[/TEX] thì [TEX]a+b+c \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/TEX]
3)[TEX]\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} (a; b>0)[/TEX]
4)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh:
a)[TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a} \geq 6[/TEX]
b)[TEX]\frac{a+5}{a}+\frac{a+5}{5} \geq 4[/TEX]

1, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(a+b)+2\sqrt{ab} \ge 2\sqrt{2(a+b)\sqrt{ab}}$

2, BĐT tương đương $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2 \ge 0$

3, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$
$\rightarrow \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \le \dfrac{2}{\dfrac{2}{\sqrt{ab}}}=\sqrt{ab}$

4a, $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2$
Thiết lập 2 bđt tương tự rồi cộng theo vế.
b, Tương tự.

 

[phamhuy20011801]

5)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
a)[TEX]\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}<5[/TEX]
6)Cho [TEX]a; b; c \geq 0[/TEX]. Chứng minh:
a)[TEX](a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 4[/TEX]
b)[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]
7)Cho [TEX]a; b; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX](a+c)(a+1)(b+1)(b+c) \geq 16abc[/TEX]
8)Cho [TEX]x>y; xy=1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{x^2+y^2}{x-y} \geq 2\sqrt{2}[/TEX]
9)Cho [TEX]a; b>0; a+b<1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]a^4+b^4 \geq \frac{1}{8}[/TEX]
10)Cho [TEX]0<a; b; c<1[/TEX]. Chứng minh ít nhất 1 trong 3 BĐT sau sai:
+)[TEX]a(1-b)>\frac{1}{4}[/TEX]
+)[TEX]b(1-c)>\frac{1}{4}[/TEX]
+)[TEX]c(1-a)>\frac{1}{4}[/TEX]
11)Cho [TEX]0<a; b; c; d<1[/TEX]. Chứng minh ít nhất 1 trong các BĐT sau sai:
+)[TEX]2a(1-b)>1[/TEX]
+)[TEX]3b(1-c)>2[/TEX]
+)[TEX]8c(1-d)>1[/TEX]
+)[TEX]32d(1-a)>3[/TEX]
12)Cho [TEX]a; b; c; d>0[/TEX]. Chứng minh trong các số sau có ít nhất 1 số dương:
+)[TEX]2a+b-2\sqrt{cd}[/TEX]
+)[TEX]2a+c-2\sqrt{ad}[/TEX]
+)[TEX]2c+d-2\sqrt{ab}[/TEX]
+)[TEX]2d+a-2\sqrt{bc}[/TEX]
13)Cho [TEX]x; y; z>0[/TEX]. Chứng minh:[TEX](xyz+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x} \geq x+y+z+6[/TEX]
14)Cho [TEX]a; b; c[/TEX] là 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
[TEX]abc \geq 8(p-a)(p-b)(p-c)[/TEX]

5, $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+ \sqrt{c+1}= \sqrt{(a+1).1}+ \sqrt{(b+1).1}+ \sqrt{(c+1).1} \le \dfrac{a+1+1}{2}+\dfrac{b+1+1}{2}+\dfrac{c+1+1}{2}=3,5.$
$\leftrightarrow a=b=c=0$
Dấu "=" không xảy ra do $a,b,c >0$

$b, \sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2} \le \dfrac{a+2+1}{2}+\dfrac{b+2+1}{2}+\dfrac{c+2+1}{2}=5.$
Không xảy ra dấu "=".

6a, Biến đổi tương đương đưa về $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2$, lđ.
b, Đưa về bài $4a$

7, $a+c \ge 2\sqrt{ac}$
$a+1 \ge 2\sqrt{a}$
$b+1 \ge 2\sqrt{b}$
$b+c \ge 2\sqrt{bc}$
Nhân lại.

8, $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{x^2-2xy+y^2+2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y} \ge 2\sqrt{2}$

9, Sử dụng liên tiếp $2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$
$8(a^4+b^4) \ge 4(a^2+b^2)^2 = [2(a^2+b^2)]^2 \ge (a+b)^4 > 1$
(ở đây không xảy ra đẳng thức)

10, Giả sử các bđt đều đúng. thế thì: $a(1-b)b(1-c)c(1-a) > \dfrac{1}{64}$
Mà $a(1-b)b(1-c)c(1-a)=[a(1-a)][b(1-b)][c(1-c)] \le \dfrac{a+1-a}{4}.\dfrac{b+1-b}{4}.\dfrac{c+1-c}{4}=\dfrac{1}{64}$
Như vậy điều giả sử sai.

11,12, dùng phản chứng tương tự $10$

13, $(xyz+1)( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z})+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}\\
=xy+yz+zx+ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x} \\
=( xy+\dfrac{y}{x})+(yz+\dfrac{z}{y})+(zx+\dfrac{x}{z})+ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z} \ge 2x+2y+2z+ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}=(x+y+z+ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z})+x+y+z \ge 6\sqrt[6]{xyz.\dfrac{1}{xyz}}+x+y+z=x+y+z+6$

14, $4(p-a)(p-b) \le (p-a+p-b)^2=c^2$
Mấy cái kia tương tự, nhân lại.