Chứng minh các BĐT sau(tiếp):

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho [TEX]a; b; x; y[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b=2xy[/TEX]. Chứng minh rằng một trong 2 BĐT sau đúng:[TEX]x^2 \geq a; y^2 /geq b[/TEX]
2)Cho [TEX]x \neq 0; y \neq 0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]x^4+y^4 \geq \frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}[/TEX]
3)Chứng minh: [TEX]a^4+4ab^3+3b^4 \leq 0[/TEX]
4)Cho [TEX]a; b; c \geq 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh: [TEX]b+c \geq 16abc[/TEX]
5)a)Cho [TEX]a; b;c; d>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\sqrt{(a+c)(b+d)} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{cd}[/TEX]
b)Cho [TEX]a>0; b>c; c>0[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX]

 

[leminhnghia1]

5,6

5,Theo bđt Bu nhi a ta có:

[TEX]\sqrt{(a+c)(b+d)} \ \geq \ \sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{cd}[/TEX]

6. TT. Áp dụng bđt như ở phần 5.

[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{(c+b-c)(a-c+c)} \ = \sqrt{ab}[/TEX]

 

[phamhuy20011801]

1, Giả sử chúng đều sai thì $x^2+y^2 < a+b < 2xy$, vô lí. Do đó điều giả sử sai, suy ra đpcm.

2, Biến đổi tương đương về $\dfrac{(x^2-y^2)^2(x^4+x^2y^2+y^4)}{x^2y^2} \ge 0$

3, Cho $a,b$ dương thì bất đẳng thức sai.

4, sử dụng $(a+b)^2 \ge 4ab$
$ b+c=(b+c).1 = (b+c).(a+b+c)^2 \ge (b+c).4a(b+c) = (b+c)^2.4a \ge 4a.4bc=16abc $
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=\dfrac{1}{2}; b=c=\dfrac{1}{4}$

5, Bình phương rút gọn ta được một dạng đúng của Bunhia.

 

[ailatrieuphu]

1, Giả sử chúng đều sai thì $x^2+y^2 < a+b < 2xy$, vô lí. Do đó điều giả sử sai, suy ra đpcm.

2, Biến đổi tương đương về $\dfrac{(x^2-y^2)^2(x^4+x^2y^2+y^4)}{x^2y^2} \ge 0$

3, Cho $a,b$ dương thì bất đẳng thức sai.

4, sử dụng $(a+b)^2 \ge 4ab$
$ b+c=(b+c).1 = (b+c).(a+b+c)^2 \ge (b+c).4a(b+c) = (b+c)^2.4a \ge 4a.4bc=16abc $
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=\dfrac{1}{2}; b=c=\dfrac{1}{4}$

5, Bình phương rút gọn ta được một dạng đúng của Bunhia.

xin lỗi! Đề câu 3 mình viết sai, đúng ra phải là [TEX]a^4-4ab^3+3b^4[/TEX]
nhờ bạn giải giùm!

 

[leminhnghia1]

Giải 3:

[TEX]a^4-4ab^3+3b^4[/TEX]

[TEX]=(a^4-2a^2b^2+b^4)+2a^2b^2-4ab^3+2b^4[/TEX]

[TEX]=(a^2-b^2)^2+2b^2(a^2-2ab+b^2)[/TEX]

[TEX]=(a-b)^2(a+b)^2+2b^2(a-b)^2[/TEX]

[TEX]=(a-b)^2[(a+b)^2+2b^2] \ \geq \ 0[/TEX]

Dấu "=" $<=> a=b=0$

Dấu luôn không âm, bạn!