Chứng minh các bất phương trình

[baby_12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các bất phương trình sau :
a) a ^2+b^2 +1\geqab+a+b
b) a ^2+b^2+c^2\geq a(b+c)

 

[minhtuangv]

Chứng minh các bất phương trình sau :
a) a ^2+b^2 +1\geqab+a+b
b) a ^2+b^2+c^2\geq a(b+c)

Câu a)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
[TEX]a^2 + b^2 \geq 2ab[/TEX] (Dấu '=' \Leftrightarrow a=b)
[TEX]a^2 + 1 \geq 2a[/TEX] (Dấu '=' \Leftrightarrow a=1)
[TEX]b^2 + 1 \geq 2b[/TEX] (Dấu '=' \Leftrightarrow b=1)
Công lần lượt các vế của 3 BPT trên, ta có:
[TEX]2.(a^2 + b^2 + 1) \geq 2.(ab + a + b)[/TEX] (Dấu '=' \Leftrightarrow a=b=1)
\Rightarrow [TEX]a^2 + b^2 + 1 \geq ab + a + b[/TEX] (Dấu '=' \Leftrightarrow a=b=1)

 

[pro_ecec]

b) xét hiệu : a ^2+b^2+c^2 -a(b+c) =a^2 +b^2+c^2 -ab-ac = b^2 - 2b.a/2 + (a/2)^2+c^2 - 2c.a/2 + (a/2)^2 +a/2
= (b-a/2) ^2 +(c-a/2) ^2+a^2/2 > = 0( vì (b-a/2) ^2 >=0, (c-a/2) >=0 ,a^2/2 >=0)
=>>> dpcm

 

[minhtuangv]

Chứng minh các bất phương trình sau :
a) a ^2+b^2 +1\geqab+a+b
b) a ^2+b^2+c^2\geq a(b+c)

Câu b) Mình có cách khác dễ nhìn hơn đây!
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq a.(b+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 - 2ab - 2ac \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2 + (a-c)^2 + b^2 + c^2 \geq 0[/TEX] (Luôn đúng)
[TEX]\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b+c)[/TEX] (đpcm) (Dấu '=' \Leftrightarrow a=b=c=0)

 

[brandnewworld]

Chứng minh các bất phương trình sau :
a) a ^2+b^2 +1\geqab+a+b
b) a ^2+b^2+c^2\geq a(b+c)

Câu a)[TEX]a^2+b^2 +1 \geq ab+a+b \Leftrightarrow (\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2})+(\frac{a^2}{2}-a+\frac{1}{2})+(\frac{b^2}{2}-b+\frac{1}{2}) \geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b^}{\sqrt{2}})^2+(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 \geq 0[/TEX] Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
Câu n) Tương tự câu a)

 

[brandnewworld]

Câu b) Mình có cách khác dễ nhìn hơn đây!
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 \geq a.(b+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 - 2ab - 2ac \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2 + (a-c)^2 + b^2 + c^2 \geq 0[/TEX] (Luôn đúng)
[TEX]\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b+c)[/TEX] (đpcm) (Dấu '=' \Leftrightarrow a=b=c=0)

Cách bạn tuy dễ hơn nhưng đấy là trường hợp đặc biệt, thử chứng minh bất đẳng thức này xem: [TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX]. Cái này phải áp dụng cách của tôi thôi!

 

[phuca5gv]

Câu a chính là bất đẳng thức tổng quát sau:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX] a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca[/TEX]
Cách giải :
Gấp đôi hai vế rồi xét hiệu để đưa về dạng tổng bình phương. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

 

[baby_12]

theo mình thì câu b còn có cách giải khác nữa, có bn nào tìm ra chưa