[TEX]a)(a^2 + b^2)c + (b^2 + c^2)a + (a^2 + c^2)b \geq 6abc (a, b, c>0)[/TEX]
Ta có:$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)c + \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a + \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b \ge 6abc$
\Leftrightarrow ${a^2}c + {b^2}c + {b^2}a + {c^2}a + {c^2}b + {a^2}b - 6abc \ge 0$
\Leftrightarrow $c\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + b\left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + a\left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) \ge 0$
\Leftrightarrow $c{\left( {a - b} \right)^2} + b{\left( {a - c} \right)^2} + a{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0$ (1)
Do $a,b,c > 0$ nên (1) luôn đúng
\Rightarrow đpcm
[TEX]b)\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \geq \frac{2}{1 + ab} (a \geq b \geq 1)[/TEX]
Ta có: $\dfrac{1}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 1}} \ge \dfrac{2}{{ab + 1}}$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 1}} - \dfrac{2}{{ab + 1}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right) + \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right) - 2\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{a{b^3} + {b^2} + ab + 1 + {a^3}b + {a^2} + ab + 1 - 2\left( {{a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{a{b^3} + {a^3}b + 2ab - {a^2} - {b^2} - 2{a^2}{b^2}}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{ab\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0$ (1)
NX:*Mấu luôn>0
*Do $a \ge b \ge 1$ nên $ab - 1 \ge 0$
\Rightarrow tử lớn hơn hoặc =0
\Rightarrow (1) luôn đúng với $a \ge b \ge 1$
\Rightarrow đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn