Chứng minh các bất đẳng thức áp dụng BĐT Cauchy

[yeahman]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c,d thuộc tập R. Chứng minh ( Yêu cầu dùng BĐT Cauchy cho 2 số )
1/ [TEX]\sqrt[2]{c(a-c)} + \sqrt[2]{c(b-c} \leq ab [/TEX] ( với a,b,c >0 và[TEX] a \geq c, b \geq c [/TEX])
2/[TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} + 7(a+b) \geq 8\sqrt[2]{2(a^2 + b^2)} [/TEX]( với a,b > 0)
3/[TEX]\frac{a^2 + 9b^2}{a - 3b} \geq 2\sqrt[2]{6}[/TEX] ( với a > 3b và ab = 1)
4/[TEX] \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(a+c)^2} + \frac{1}{(b+c)^2} \geq 4 [/TEX]( với [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX], đôi một khác nhau và (a+c)(b+c) = 1)
5/ [TEX]\sqrt[2]{4a + 1} + \sqrt[2]{4b + 1} + \sqrt[2]{4c + 1} < 5 [/TEX]( với [TEX] a,b,c \geq \frac{-1}{4}[/TEX] và a + b + c = 1)

 

[hien_vuthithanh]

bai 3

$\dfrac{{a^2}+9{b^2}}{a-3b)}=\dfrac{({a^2}-6ab+9{b^2})+6}{a-3b}$ (vi ab=6)
$\dfrac{{(a-3b)^2}+6}{a-3b} =(a-3b) +\dfrac{6}{a-3b}$ \geq $2\sqrt{6}$
\Rightarrow dpcm
~Học cách gõ CTTH tại đây

Đã sửa.

 

[nhokdangyeu01]

1, Bạn ơi bài 1 phải là $\sqrt[]{ab}$ mới đúng, thầy giáo mình giao bài này về nhà viết như vậy
AD bất đẳng thức Bunhia ta có
$(\sqrt[]{c(a-c)}+\sqrt[]{c(b-c)})^2$
= $(\sqrt[]{c}\sqrt[]{a-c}+\sqrt[]{b-c}\sqrt[]{c})^2$
\leq (c+b-c)(a-c+c)
=ab
\Rightarrow $\sqrt[]{c(a-c)}+\sqrt[]{c(b-c)}$ \leq $\sqrt[]{ab}$
Dấu = khi $\frac{\sqrt[]{c}}{\sqrt[]{b-c}}$=$\frac{\sqrt[]{a-c}}{\sqrt[]{c}}$
\Leftrightarrow ab=(a+b)c

 

[nhokdangyeu01]

5, ta có
$\sqrt[]{4a+1}$=$\frac{\sqrt[]{\frac{7}{3}}\sqrt[]{4a+1}}{\sqrt[]{\frac{7}{3}}}$ \leq $\frac{\frac{\frac{7}{3}+4a+1}{2}}{\sqrt[]{\frac{7}{3}}}$=$\frac{2a+\frac{5}{3}}{\sqrt[]{\frac{7}{3}}}$
Tương tự \Rightarrow $\sqrt[]{4a+1}$+$\sqrt[]{4b+1}$+$\sqrt[]{4c+1}$ \leq $\frac{2a+2b+2c+5}{\sqrt[]{\frac{7}{3}}}$=$\frac{7}{\sqrt[]{\frac{7}{3}}}$=$\sqrt[]{21}$<5(đpcm)