Từ giả thiết ta được [imath]\begin{cases} c \mid a^2+1 \\ a \mid c^2+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c \mid a^2+c^2+1 \\ a \mid c^2+a^2+1 \end{cases}[/imath]
Xét [imath]a \geq 1[/imath]. Khi đó nếu [imath](a,c)=k >1[/imath] thì [imath]k \mid a \mid c^2+1[/imath] và [imath]k \mid c \mid c^2[/imath] nên [imath]k \mid 1[/imath](mâu thuẫn)
Vậy [imath](a,c)=1[/imath]. Từ đó [imath]ac \mid a^2+c^2+1[/imath].
Đặt [imath]a^2+c^2+1=mac[/imath] với [imath]m \in \mathbb{N}^*[/imath] thì [imath](a,c)[/imath] là nghiệm nguyên của phương trình [imath]x^2+y^2+1=mxy[/imath] (1), tức (1) có nghiệm nguyên dương.
Xét phương trình (1). Gọi [imath](x_0,y_0)[/imath] là cặp nghiệm nguyên dương sao cho [imath]x_0+y_0[/imath] nhỏ nhất.
Vì vai trò của [imath]x,y[/imath] như nhau nên giả sử [imath]x_0 \geq y_0[/imath].
Ta thấy phương trình [imath]x^2-my_0x+y_0^2+1=0[/imath] có [imath]1[/imath] nghiệm là [imath]x=x_0[/imath] nên phương trình đó cũng có nghiệm thứ [imath]2[/imath] là [imath]x=x_1[/imath].
Theo định lý Viète thì [imath]\begin{cases} x_0+x_1=my_0 \\ x_0x_1=y_0^2+1 \end{cases}[/imath]
Khi đó, ta thấy [imath]x_0x_1=y_0^2+1>0[/imath] nên [imath]x_1>0[/imath]. Từ đó [imath](x_1,y_0)[/imath] cũng là một cặp nghiệm nguyên dương của (1).
Theo cách chọn [imath](x_0,y_0)[/imath] thì [imath]x_0+y_0 \leq x_1+y_0 \Rightarrow x_0 \leq x_1[/imath]
[imath]\Rightarrow y_0^2+1 =x_0x_1 \geq x_0^2[/imath].
Nếu như [imath]x_0 \geq y_0+1[/imath] thì [imath]y_0^2+1 \geq (y_0+1)^2 \Rightarrow 2y_0 \leq 0[/imath] (mâu thuẫn)
Từ đó [imath]x_0 \leq y_0[/imath]. Mà ta lại có [imath]x_0 \geq y_0[/imath] nên [imath]x_0=y_0[/imath].
[imath]\Rightarrow y_0=x_0 \mid x_0x_1 =y_0^2+1 \Rightarrow y_0 \mid 1 \Rightarrow x_0=y_0=1[/imath]
[imath]\Rightarrow m=\dfrac{x_0^2+y_0^2+1}{x_0y_0}=3[/imath]
Suy ra [imath]a^2+c^2+1=3ac \Rightarrow cd=a^2+1=3ac-c^2 \Rightarrow c(c+d)=3ac \Rightarrow c+d=3a[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
