Toán 9 Chứng minh biểu thức lớn hơn hoặc bằng [tex]1[/tex] với [tex]x;y;z>0[/tex] và [tex]x+y+z=3[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x;y;z>0[/tex] và [tex]x+y+z=3[/tex].
Chứng minh: [tex]\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq 1[/tex]

 

[kido2006]

Cho [tex]x;y;z>0[/tex] và [tex]x+y+z=3[/tex].
Chứng minh: [tex]\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq 1[/tex]

Ta có [tex] (a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
Áp dụng ta có [tex]\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq\frac{4}{x^2+2yz+y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq \frac{9}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=1[/tex](đpcm)