Toán 9 Chứng minh bé hơn hoặc bằng 1

[andrew3629]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c > 0 thỏa a + b +c = 1.
Chứng minh rằng :
[tex]\large 5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)\leq 1[/tex] .
Cảm ơn.

 

[iceghost]

Cách này không được hay lắm:
bđt $\iff 5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) - 6(a^3+b^3+c^3) \leqslant (a+b+c)^3$
$\iff 5(a^3 + b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)) - 6(a^3 + b^3 + c^3) \leqslant a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
$\iff 5(ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) \leqslant 2(a^3+b^3+c^3) + 3(ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc)$
$\iff a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geqslant ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$
Đây là bđt Schur bậc 3, bạn có thể tham khảo thêm. Mình xin ghi 1 cách chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geqslant b \geqslant c$
bđt $\iff (a^3 - a^2b - a^2c + abc) + (b^3 - b^2a - b^2c+ abc) + (c^3 - c^2a - c^2b + abc) \geqslant 0$
$\iff a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c)+ c(c-a)(c-b) \geqslant 0$
$\iff (a-b)(a^2-b^2-ac+bc) + c(c-a)(c-b) \geqslant 0$
$\iff (a-b)^2(a+b-c) + c(c-a)(c-b) \geqslant 0$ (đúng)
Suy ra đpcm. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\dfrac13$

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Ta đi chứng minh
[tex]5a^2-6a^3\leq \frac{2}{3}a+\frac{1}{9}[/tex]
Chứng minh bằng tương đương
Tương tự với các ẩn b và c
Sau đó cộng lại ta có đpcm

 

[nhatminh1472005]

Ta đi chứng minh
[tex]5a^2-6a^3\leq \frac{2}{3}a+\frac{1}{9}[/tex]
Chứng minh bằng tương đương
Tương tự với các ẩn b và c
Sau đó cộng lại ta có đpcm

Em biến đổi tương đương được [tex](3a-1)(18a^2-9a-1)\geq 0[/tex].
Thế thì làm được gì nữa đâu ạ?
#Nghi : có lẽ sai rồi

 

[andrew3629]

Cách này không được hay lắm:
bđt $\iff 5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) - 6(a^3+b^3+c^3) \leqslant (a+b+c)^3$
$\iff 5(a^3 + b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)) - 6(a^3 + b^3 + c^3) \leqslant a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
$\iff 5(ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) \leqslant 2(a^3+b^3+c^3) + 3(ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc)$
$\iff a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geqslant ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$
Đây là bđt Schur bậc 3, bạn có thể tham khảo thêm. Mình xin ghi 1 cách chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geqslant b \geqslant c$
bđt $\iff (a^3 - a^2b - a^2c + abc) + (b^3 - b^2a - b^2c+ abc) + (c^3 - c^2a - c^2b + abc) \geqslant 0$
$\iff a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c)+ c(c-a)(c-b) \geqslant 0$
$\iff (a-b)(a^2-b^2-ac+bc) + c(c-a)(c-b) \geqslant 0$
$\iff (a-b)^2(a+b-c) + c(c-a)(c-b) \geqslant 0$ (đúng)
Suy ra đpcm. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\dfrac13$

Bạn làm cách THCS đi chứ BĐT Schur mình chưa học.

Ta đi chứng minh
[tex]5a^2-6a^3\leq \frac{2}{3}a+\frac{1}{9}[/tex]
Chứng minh bằng tương đương
Tương tự với các ẩn b và c
Sau đó cộng lại ta có đpcm

Vì sao [tex]5a^2-6a^3\leq \frac{2}{3}a+\frac{1}{9}[/tex] ạ
#Nghị : mình sai nha

 

[nhatminh1472005]

Bạn làm cách THCS đi chứ BĐT Schur mình chưa học.

Ta đi chứng minh
[tex]5a^2-6a^3\leq \frac{2}{3}a+\frac{1}{9}[/tex]
Chứng minh bằng tương đương
Tương tự với các ẩn b và c
Sau đó cộng lại ta có đpcm

@Hoàng Vũ Nghị Em nghĩ là [tex]5a^2-6a^3\leq \frac{4}{3}a-\frac{1}{9}[/tex] thì đúng hơn ạ!

 

[iceghost]

Bạn làm cách THCS đi chứ BĐT Schur mình chưa học.

Mình có chứng minh lại ở phía dưới rồi đó bạn.

 

[ankhongu]

@Hoàng Vũ Nghị Em nghĩ là [tex]5a^2-6a^3\leq \frac{4}{3}a-\frac{1}{9}[/tex] thì đúng hơn ạ!

Cho em hỏi cái đó là anh dùng PP U.C.T thì ra hay là cái gì thế ạ ?

 

[mbappe2k5]

Cho em hỏi cái đó là anh dùng PP U.C.T thì ra hay là cái gì thế ạ ?

Cho mình hỏi chút là U.C.T là gì vậy?
Bài đấy á, mình dự đoán dấu bằng tại a=b=c=1/3.
Đặt [TEX]5a^2-6a^3\leq ma+n[/TEX].
Thử thay a=1/3 vào rồi để BĐT trở thành đẳng thức (đang giả sử thôi).
Tức là khi đó 5a^2-6a^3\leq ma+[TEX]frac{1}{3}[/TEX]-[TEX]frac{1}{3}a[/TEX].
Rồi chuyển vế sang, sau đó cố gắng phân tích đa thức thành nhân tử bằng sơ đồ Horner.
Sau đó cái biểu thức chứa tham số m thì lại thay a=1/3 tiếp vào để nó bằng 0. Rồi tìm m sau đó tìm n.
Cái này mình lâu chưa làm lại nên đừng hỏi sâu hơn nhé, mình chỉ nhớ vậy thôi!

 

[ankhongu]

Cho mình hỏi chút là U.C.T là gì vậy?
Bài đấy á, mình dự đoán dấu bằng tại a=b=c=1/3.
Đặt [TEX]5a^2-6a^3\leq ma+n[/TEX].
Thử thay a=1/3 vào rồi để BĐT trở thành đẳng thức (đang giả sử thôi).
Tức là khi đó 5a^2-6a^3\leq ma+[TEX]frac{1}{3}[/TEX]-[TEX]frac{1}{3}a[/TEX].
Rồi chuyển vế sang, sau đó cố gắng phân tích đa thức thành nhân tử bằng sơ đồ Horner.
Sau đó cái biểu thức chứa tham số m thì lại thay a=1/3 tiếp vào để nó bằng 0. Rồi tìm m sau đó tìm n.
Cái này mình lâu chưa làm lại nên đừng hỏi sâu hơn nhé, mình chỉ nhớ vậy thôi!

Bạn CM tương đương cái đó cho mình xem được không ? Mình biến đổi ra [tex](3a - 1)^{2}(6a - 1) \geq 0[/tex] nhưng làm sao để cm 6a - 1 lớn hơn 0 bây giờ

 

[7 1 2 5]

Theo mình thì khả năng bài này không thể sử dụng phương pháp U.C.T được, vì ở đây bất đẳng thức có bậc 3, khi đưa về dạng bình phương 1 biểu thức thì sẽ còn 1 thừa số bậc nhất nữa, không thể chứng minh được....

 

[mbappe2k5]

Bạn CM tương đương cái đó cho mình xem được không ? Mình biến đổi ra [tex](3a - 1)^{2}(6a - 1) \geq 0[/tex] nhưng làm sao để cm 6a - 1 lớn hơn 0 bây giờ

Theo mình thì cách đấy không hiệu quả rồi, nhiều khi mình làm những bài dạng đó đều được, ít khi gặp kiểu này