Chứng minh BĐT

V

vodichhocmai

quang7 said:
Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{{x^2 }}{{1 + y}} + \frac{{y^2 }}{{1 + z}} + \frac{{z^2 }}{{1 + x}} \ge\frac{3}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]AMGM\righ \frac{{x^2 }}{{1 + y}} +\frac{1+y}{4}\ge x [/TEX]

[TEX]\righ LHS\ge \frac{3(x+y+z)}{4}-\frac{3}{4}\ge \frac{3}{2}[/TEX]

Do [TEX]a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3[/TEX]
 
H

hocmai.toanhoc

Bài giải của hocmai.toanhoc ( Trịnh Hào Quang)

Bài này có 2 cách như sau:

Cách 1: ( Dùng Côsi)
Ta có:
[TEX]\left. \begin{array}{l}\frac{{x^2 }}{{1 + y}} + \frac{{1 + y}}{4} \ge x \\\frac{{y^2 }}{{1 + z}} + \frac{{1 + z}}{4} \ge y \\\frac{{z^2 }}{{1 + y}} + \frac{{1 + x}}{4} \ge z \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{x^2 }}{{1 + y}} + \frac{{y^2 }}{{1 + z}} + \frac{{z^2 }}{{1 + x}} + \frac{{3 + x + y + z}}{4} \ge x + y + z \\\Leftrightarrow \frac{{x^2 }}{{1 + y}} + \frac{{y^2 }}{{1 + z}} + \frac{{z^2 }}{{1 + x}} \ge \frac{{3(x + y + z) - 3}}{4} \ge \frac{{9\sqrt[3]{{xyz}} - 3}}{4} = \frac{3}{2} \\[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Cách 2: (Dùng Bunhiacopxki)
Ta có:
[TEX]\left( {x + y + z} \right)^2 = \left( {\sqrt {1 + y} .\frac{x}{{\sqrt {1 + y} }} + \sqrt {1 + z} .\frac{y}{{\sqrt {1 + z} }} + \sqrt {1 + x} .\frac{z}{{\sqrt {1 + x} }}} \right)^2 \le \left( {x + y + z + 3} \right)VT \\\Rightarrow VT \ge \frac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{\left( {x + y + z + 3} \right)}} \\[/TEX]
Đặt:
[TEX] t = x + y + z \Rightarrow t = x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} = 3 \\f(t) = \frac{{t^2 }}{{t + 3}} = t - 3 + \frac{9}{{t + 3}} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{9}{{\left( {t + 3} \right)^2 }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =0 < 3 \\t = - 3 < 3\\\end{array} \right. \\\Rightarrow f(t) \ge f(3) = \frac{3}{2} \\\[/TEX]
 
B

bigbang195

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
 
B

bigbang195

CS0.8038936_1_1.bmp
.
 
V

vodichhocmai

[TEX]LHS_1\le 1+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le 1+\frac{1+(1+x)+1+(1-x)}{2}=3[/TEX]

[TEX]\min_{x=0}LHS_1=3[/TEX] ;)
 
V

vodichhocmai

[TEX]LHS_2= \sum_{cyclic} \(xy+\frac{x}{y}+\frac{1}{x}-x\)\ge \sum_{cyclic}\(x+\frac{1}{x}\)=6 [/TEX]

Chết sống là đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z=1[/TEX];)
 
V

vodichhocmai

bigbang195 said:
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Không khó chứng minh

[TEX]LHS\ge a^3+b^3+c^3[/TEX]

Ta cũng có thể giải

[TEX]\frac{a^4}{b+c}+ \frac{b+c}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ge a[/TEX]

Ta cũng có thể giải

[TEX]LHS\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)}\ge ... [/TEX]

[TEX].......[/TEX]
 
V

vodichhocmai

[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{1+x}=2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge 2\sqrt{\frac{xy}{(1+y)(1+z)}}[/TEX]

Xây dựng tượng tự ta có và nhân vế theo vế ta có

[TEX]\frac{1}{ (1+x)(1+y)(1+z) }\ge 8\frac{xyz}{(1+x)(1+y)(1+z)}[/TEX]

[TEX]\righ P=xyz\le 8[/TEX];)
 
V

vodichhocmai

Thôi để cảm ơn lòng kính trọng với thầy Phan Huy Khải anh giải tới đây được rồi ;)
 
Q

quyenuy0241

Một bài đơn giản nhé!!
Cho [tex]a+b+c=3 [/tex]
CMR: [tex]2(ab+ac+bc) \ge 3abc+3 [/tex]
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

quyenuy0241 said:
Một bài đơn giản nhé!!
Cho [tex]a+b+c=3 [/tex]
CMR: [tex]2(ab+ac+bc) \ge 3abc+3 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

giả sử [TEX]a=max[/TEX] thì[TEX] a \ge 1[/TEX]

[TEX]f(a,b,c)=2\sum ab-3abc-3 \ge f(a,t,t)=2(a.2t+t^2)-3at^2-3[/TEX]

với [TEX]t=\frac{b+c}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2bc-\frac{(b+c)^2}{2}+3a\left( \frac{(b+c)^2}{4}-bc \right) \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b-c)^2 ( \frac{3a}{4} - \frac{1}{2} ) \ge 0[/TEX]

Đúng vì [TEX]a \ge 1[/TEX]

[TEX]f(a,t,t)=f\left (3-2t,t,t \right ) \ge 0 [/TEX]
dễ chừng minh :|
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom