Toán 8 Chứng minh BĐT

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR : 1/(a+1)^2 + 1/(b+1)^2 + 1/(c+1)^2 + 2/(a+b)(b+c)(c+a) >hoặc bằng 1

 

[7 1 2 5]

Biểu thức trên không so sánh được với 1 nhé. Cụ thể với [TEX](a,b,c)=(1,2,\frac{1}{2})[/TEX] thì [TEX]VT=\frac{59}{60} <1[/TEX], với [TEX](a,b,c)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},4)[/TEX] thì [TEX]VT=\frac{2081}{2025} >1[/TEX]

 

[Lê.T.Hà]

Nhìn đề bài mình nghĩ tới 1 bài toán kinh điển: $$a;b;c>0;abc=1$$ thì $$\sum \dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$$
Chả biết người ra đề có chế gì từ đó không mà biến thành 1 BĐT kì dị và sai kiểu này

 

[Dương Nhạt Nhẽo]

CMR : 1/(a+1)^2 + 1/(b+1)^2 + 1/(c+1)^2 + 2/(a+b)(b+c)(c+a) >hoặc bằng 1

không thể giải được nha bạn, xem lại đề đi nhé

 

[Cheems]

Nhìn đề bài mình nghĩ tới 1 bài toán kinh điển: $$a;b;c>0;abc=1$$ thì $$\sum \dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 1$$
Chả biết người ra đề có chế gì từ đó không mà biến thành 1 BĐT kì dị và sai kiểu này

EM cũng đang nghĩ thế , em đang hỏi lại thầy xem ntn

 

[Cheems]

1/(a+1)^2 + 1/(b+1)^2 + 1/(c+1)^2 + 2/(a+1)(b+1)(c+1) >hoặc bằng 1
Đây là đề bài đúng ạ , thầy em bảo sai đề
Mong mn giải bằng pp Dirichlet ạ

 

[Lê.T.Hà]

$$\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}=\dfrac{1}{\left ( 1.1+\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}} \right )^2}+\dfrac{1}{\left ( 1.1+\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}} \right )^2} \geq \dfrac{1}{(1+ab)\left ( 1+\dfrac{a}{b} \right )}+\dfrac{1}{(1+ab)\left ( 1+\dfrac{b}{a} \right )}=\dfrac{1}{1+ab}$$
$$\Rightarrow LHS \geq \dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{(1+c)^2}+\dfrac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(1+c)^2}+\dfrac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 1, giả sử đó là a và b
$$\Rightarrow (a-1)(b-1) \geq 0\Rightarrow ab+1 \geq a+b\Rightarrow 2(ab+1) \geq ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$$
$$\Rightarrow LHS \geq \dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{2}{2(ab+1)(c+1)}=\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{c}{(c+1)^2}=1$$