Toán 9 Chứng minh BĐT

[minhtam8a2@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
[tex]\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}[/tex] với mọi số nguyên dương m,n.
Mong sự hỗ trợ từ các bạn, mình cảm ơn!

 

[kido2006]

Chứng minh rằng:
[tex]\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}[/tex] với mọi số nguyên dương m,n.
Mong sự hỗ trợ từ các bạn, mình cảm ơn!

[tex]\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \Leftrightarrow \left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{n^{2}}\Leftrightarrow |mn-\sqrt{2}.n^2|\geq \sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
Vì [tex]m\geq 1\in \mathbb{N}[/tex] nên ta cần chứng minh [tex]|n-\sqrt{2}.n^2|\geq \sqrt{3}-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}.n^2-n\geq \sqrt{3}-\sqrt{2}(do.n-\sqrt{2}.n^2< 0)\Leftrightarrow \sqrt{2}.n^2-n+\sqrt{2}-\sqrt{3}\geq 0[/tex]
Giải BPT ta nhận được [tex]n\geq 0.94499457066[/tex]
Điều này hiển nhiên đúng do [tex]n\geq 1\in \mathbb{N}[/tex]
Vậy ta có đpcm , dấu = không xảy ra

 

[Duy Quang Vũ 2007]

[tex]\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \Leftrightarrow \left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{n^{2}}\Leftrightarrow |mn-\sqrt{2}.n^2|\geq \sqrt{3}-\sqrt{2}[/tex]
Vì [tex]m\geq 1\in \mathbb{N}[/tex] nên ta cần chứng minh [tex]|n-\sqrt{2}.n^2|\geq \sqrt{3}-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}.n^2-n\geq \sqrt{3}-\sqrt{2}(do.n-\sqrt{2}.n^2< 0)\Leftrightarrow \sqrt{2}.n^2-n+\sqrt{2}-\sqrt{3}\geq 0[/tex]
Giải BPT ta nhận được [tex]n\geq 0.94499457066[/tex]
Điều này hiển nhiên đúng do [tex]n\geq 1\in \mathbb{N}[/tex]
Vậy ta có đpcm , dấu = không xảy ra

Nếu m=2; n=3 thì ta có: [tex]|2.3-\sqrt{2}.3^2|<|3-\sqrt{2}.3^2|[/tex] mà anh.