Toán 9 Chứng minh bđt

[Hồng Uyên 2k6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b , c là các số thực dương t/m [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
CMR [tex]\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đề chính xác phải là chứng minh [tex]\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex] nhé.
Ta có: [tex](\frac{a}{b^2+c^2})^2=\frac{a^2}{(1-a^2)^2}=\frac{2a^4}{2a^2(1-a^2)(1-a^2)} \geq \frac{2a^4}{(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3}=\frac{27}{4}a^4\Rightarrow \frac{a}{b^2+c^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2[/tex]
Cộng vế theo vế ta có đpcm.

 

[Hồng Uyên 2k6]

Đề chính xác phải là chứng minh [tex]\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex] nhé.
Ta có: [tex](\frac{a}{b^2+c^2})^2=\frac{a^2}{(1-a^2)^2}=\frac{2a^4}{2a^2(1-a^2)(1-a^2)} \geq \frac{2a^4}{(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3}=\frac{27}{4}a^4\Rightarrow \frac{a}{b^2+c^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2[/tex]
Cộng vế theo vế ta có đpcm.

chị có thể làm cụ thể hơn ở bước dùng cô-si?

 

[7 1 2 5]

Ở đây ta sử dụng BĐT Cauchy dạng [tex]xyz \leq (\frac{x+y+z}{3})^3 \Leftrightarrow x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex]
Áp dụng BĐT với [TEX]x=2a^2,y=z=1-a^2[/TEX] ta có:
[tex]2a^2.(1-a^2).(1-a^2) \leq (\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\frac{8}{27}[/tex]