chung minh bdt

[doan_phuoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chung minh : [tex]\frac{1}{1+a^2}[/tex] + [tex]\frac{1}{1+b^2}[/tex] \geq [tex]\frac{2}{1+ab}[/tex] voi ab>1

 

[lamtrang0708]

mình nghĩ đề là 2 : (1+ab) chứ nếu là thế chứng minh tương đương là ra thui muk bạn ak

 

[vodichhocmai]

chung minh : [tex]\frac{1}{1+a^2}[/tex] + [tex]\frac{1}{1+b^2}[/tex] \geq [tex]\frac{2}{1+ab}[/tex] voi ab>1

Dùng phương pháp qui đồng mẫu số ta được dpcm .........

[TEX]LHS-RHS=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+ab)(a+a^2)(1+b^2)}\ge 0[/TEX]

 

[rua_it]

[tex]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2+a^2+b^2)(1+ab) \geq (2(1+a^2)(1+b^2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2+a^2+2ab+b^2+(a^2+b^2)ab \geq 2+2a^2+2b^2+2a^2b^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2ab-a^2-b^2-2a^2b^2+(a^2+b^2).ab \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a-b)^2.ab-(a-b)^2 \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \geq 0[/tex] (Đúng)

Dạng tổng quát:

[tex]\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\frac{1}{1+a_3}+...+\frac{1}{1+a_n} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_1a_2a_2..a_n}[/tex]
Với [tex]i=1,2,3,..,n (n \in\ N)[/tex]