Toán 9 Chứng minh BĐT

[ruthenii]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với [tex]a,b,c[/tex] là các số thực dương thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=1[/tex]. CMR:
[tex]\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\leq \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}[/tex]
Mọi người giúp em với ạ @iceghost @Lena1315
--
Cho em hỏi thêm là đề viết [tex]7\frac{x}y{}[/tex] thì nên hiểu đây là một hỗn số hay là một tích ạ?
Em cảm ơn nhiều.

 

[iceghost]

Với [tex]a,b,c[/tex] là các số thực dương thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=1[/tex]. CMR:
[tex]\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\leq \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}[/tex]
Mọi người giúp em với ạ @iceghost @Lena1315
--
Cho em hỏi thêm là đề viết [tex]7\frac{x}y{}[/tex] thì nên hiểu đây là một hỗn số hay là một tích ạ?
Em cảm ơn nhiều.

bđt $\iff \dfrac{a}{(a + b)(a + c)} + \dfrac{b}{(b + a)(b + c)} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{(c + a)(c + b)}}$
$\iff \dfrac{a}{a + c} + \dfrac{b}{b + c} \leqslant \dfrac{a + b}{\sqrt{(c + a)(c + b)}}$
$\iff \dfrac{a^2}{(a + c)^2} + \dfrac{b^2}{(b + c)^2} + \dfrac{2ab}{(c + a)(c + b)} \leqslant \dfrac{(a + b)^2}{(c + a)(c + b)}$
$\iff \dfrac{a^2}{(a + c)^2} + \dfrac{b^2}{(b + c)^2} \leqslant \dfrac{a^2 + b^2}{(c + a)(c + b)}$
$\iff \dfrac{a^2}{a + c} \cdot \left( \dfrac1{a + c} - \dfrac1{c + b} \right) \leqslant \dfrac{b^2}{c + b} \cdot \left( \dfrac{1}{c + a} - \dfrac{1}{b + c} \right)$
$\iff a^2(b - a)(b + c) \leqslant b^2(b - a)(c + a)$
$\iff (a - b)(a^2b + a^2c - b^2c - b^2a) \geqslant 0$
$\iff (a - b)^2(ab + bc + ac) \geqslant 0$ (đúng)
Dấu '=' xảy ra khi $a = b$...

Còn câu hỏi phía dưới: dựa vào đề để đoán nữa bạn. Nhưng nếu không nói gì liên quan thì bạn có thể hiểu là $7 \cdot \dfrac{x}{y}$.