Toán 9 Chứng minh BĐT

[trannhannghi2000@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người có thể giải giúp mình 2 bài này có được không ạ?
Bài 1: Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1
Cmr: [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Bài 2: (Mình mới làm được phần a)
a) Cho a,b là các số dương
Cmr: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
b) Cho a,b,c>0 thoả mãn : [tex]b^{2}+c^{2}\leq a^{2}[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức:
P=[tex]\frac{1}{a^{2}}(b^{2}+c^{2})+a^{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})[/tex]

 

[7 1 2 5]

2b)
Ta có:[tex]P=\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2})=\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4b^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{3}{4}a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 2\sqrt{\frac{b^2}{a^2}.\frac{a^2}{4b^2}}+2\sqrt{\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{4c^2}}+\frac{3}{4}a^2.\frac{4}{b^2+c^2}\geq 1+1+\frac{3}{4}a^2.\frac{4}{a^2}=5[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} b^2=c^2\\ b^2+c^2=a^2 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Mọi người có thể giải giúp mình 2 bài này có được không ạ?
Bài 1: Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1
Cmr: [tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\geq \frac{3}{4}[/tex]
Bài 2: (Mình mới làm được phần a)
a) Cho a,b là các số dương
Cmr: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
b) Cho a,b,c>0 thoả mãn : [tex]b^{2}+c^{2}\leq a^{2}[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức:
P=[tex]\frac{1}{a^{2}}(b^{2}+c^{2})+a^{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})[/tex]

bài 1:
[tex]\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\\\\ =\frac{a^2b^2}{a^2b^2+abc}+\frac{b^2c^2}{b^2c^2+abc}+\frac{c^2a^2}{c^2a^2+abc}\\\\ \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3abc}[/tex]
cần chứng minh: [tex]4.(ab+bc+ca)^2\geq 3.(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3abc)\\\\ <=> 4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+4.2.abc.(a+b+c)\geq 3a^2b^2+3b^2c^2+3c^2a^2+9abc\\\\ <=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+8abc\geq 9abc\\\\ <=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc\\\\ +, x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\\\\ => a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq ab^2c+a^2bc+abc^2=abc.(a+b+c)=abc[/tex]
=> đpcm
dấu "=" <=> a=b=c=1/3