Toán 9 chứng minh BĐT

[Nữ Thần Tự Do]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là ba số thực dương. chứng minh BĐT:
[tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}+\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+c^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc+a^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{ca+b^{2}}\geq \frac{9}{2}[/tex]
@Tạ Đặng Vĩnh Phúc , @Hoàng Vũ Nghị , @NhatVyqb2004

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho a,b,c là ba số thực dương. chứng minh BĐT:
[tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}+\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+c^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc+a^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{ca+b^{2}}\geq \frac{9}{2}[/tex]
@Tạ Đặng Vĩnh Phúc , @Hoàng Vũ Nghị , @NhatVyqb2004

[tex]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}[/tex]
Lại có
[tex]\frac{a^2+b^2}{ab+c^2}\geq \frac{a^2+b^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+c^2}=\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+2c^2}\doteq 2-\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}[/tex]
Cmtt ta có
[tex]VT\geq \frac{3}{2}+6-\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}-\frac{4a^2}{2a^2+b^2+c^2}-\frac{4b^2}{a^2+2b^2+c^2}[/tex]
Cần cm
B=[tex]\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{4a^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{4b^2}{a^2+2b^2+c^2}\leq 3[/tex]
Ta có
[tex]\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{(1+1)^2c^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}[/tex]
Cmtt suy ra [tex]B\leq 3[/tex]
Vậy ...
Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

[Nữ Thần Tự Do]

[tex]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}[/tex]
Lại có
[tex]\frac{a^2+b^2}{ab+c^2}\geq \frac{a^2+b^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+c^2}=\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+2c^2}\doteq 2-\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}[/tex]
Cmtt ta có
[tex]VT\geq \frac{3}{2}+6-\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}-\frac{4a^2}{2a^2+b^2+c^2}-\frac{4b^2}{a^2+2b^2+c^2}[/tex]
Cần cm
B=[tex]\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{4a^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{4b^2}{a^2+2b^2+c^2}\leq 3[/tex]
Ta có
[tex]\frac{4c^2}{a^2+b^2+2c^2}=\frac{(1+1)^2c^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}[/tex]
Cmtt suy ra [tex]B\leq 3[/tex]
Vậy ...
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

hình như dấu "=" xảy ra chỉ có a=b=c thôi nhỉ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

hình như dấu "=" xảy ra chỉ có a=b=c thôi nhỉ?

chắc vậy bạn à ...đã sửa