Chứng minh BĐT

[sonad1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 và a+b+c=4
[TEX]CMR: 4 \leq \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \leq 2\sqrt{6}[/TEX]
Mình cần gấp

 

[hien_vuthithanh]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=4$
CMR: $4 \le \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \le 2\sqrt{6}$

Có : $P= \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}$

$\Longrightarrow P^2=2(a+b+c)+2(\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)})=8+2(\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)})$

♦Có :$2\sqrt{(a+b)(b+c)} \le a+2b+c$

$2\sqrt{(b+c)(c+a)} \le a+b+2c$

$2\sqrt{(a+c)(a+b)} \le 2a+b+c$

Cộng theo vế được $P^2 \le 8+4(a+b+c)=24 \iff P\le 2\sqrt{6}$


♦$2\sqrt{(a+b)(b+c)}=2\sqrt{ab+bc+ca+b^2} \ge 2\sqrt{b^2}=2b$

$2\sqrt{(b+c)(c+a)}=2\sqrt{ab+bc+ca+c^2} \ge 2\sqrt{c^2}=2c$

$2\sqrt{(c+a)(a+b)}=2\sqrt{ab+bc+ca+a^2} \ge 2\sqrt{a^2}=2a$

Cộng theo vế được $P^2 \ge 8+2(a+b+c)=16 \iff P\ge 4$

Vậy $4 \le \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \le 2\sqrt{6}$

 

[eye_smile]

Cách khác:

+$P^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2 \le (1+1+1)(a+b+b+c+c+a)=3.2.4=24$

\Rightarrow $P \le 2\sqrt{6}$

+Do $a+b+c=4$ và $a;b;c>0$ nên $a+b<4;b+c<4;c+a<4$

\Rightarrow $\sqrt{a+b} >\dfrac{a+b}{2}$

$\sqrt{b+c} >\dfrac{b+c}{2}$

$\sqrt{a+c} >\dfrac{a+c}{2}$

Cộng theo vế \Rightarrow đpcm.