chứng minh BĐT

[leloi_codon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,cho $x:y>0$ và $x+y\leq1$
CMR: $\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq4$
b,cho x,y,a,b>0.CMR:\sqrt{ax}+\sqrt{by}\leq\sqrt{(a+b)(x+y)}$
c,cho $$A=$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}$$
trong đó $x;y>0$ và $ xy=1$
CMR:$A\geq1$

 

[vipboycodon]

a) Nếu bạn mới học bđt thì chứng minh từ từ nhé:
Theo bđt cô-si ta có:
$a+b \ge \sqrt{2ab}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$
Nhân vế với vế ta được: $(a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \ge 2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}} = 4$
=> $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$
Áp dụng ta có:
$\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy} \ge \dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy} = \dfrac{4}{(x+y)^2} \ge 4$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{2}$

b) $\sqrt{ax}+\sqrt{by} \le \sqrt{(a+b)(x+y)}$
<=> $ax+by+2\sqrt{abxy} \le ax+ay+bx+by$
<=> $-ay+2\sqrt{abxy}-bx \le 0$
<=> $-(\sqrt{ay}-\sqrt{bx})^2 \le 0$