Chứng minh BĐT

[anhnhduc001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho 3 số thực a,b,c thoả $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh: lal+lbl+lcl-abc\leq 4
2/ Các số thực dương thoả $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$\geq3
3/ Giả sử a,b,c,d là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+cd+da=1. Chứng minh:
$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}$\geq$\frac{1}{3}$

 

[eye_smile]

1,$(|a|+|b|+|c|)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

\Leftrightarrow $|a|+|b|+|c| \le 3$

Lại có:

$a^2b^2c^2 \le (\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3})^3=1$

\Leftrightarrow $-1 \le abc \le 1$

\Leftrightarrow $1 \ge -abc \ge -1$

\Rightarrow $|a|+|b|+|c|-abc \le 3+1=4$

 

[eye_smile]

2.Ta có:

$VT^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+6$

Lại có: $\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2} \ge 2y^2$

$\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2} \ge 2z^2$

$\dfrac{x^2z^2}{y^2}+\dfrac{x^2y^2}{z^2} \ge 2x^2$

Cộng theo vế \Rightarrow $\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2} \ge 3$

\Rightarrow $VT^2 \ge 9$

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

3,$VT \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2(ab+bc+ca+da+ac+bd)} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2+a^2+b^2+c^2+d^2} \ge \dfrac{1}{3}$



Do $a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 1$